Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 13.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
1.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}}
[/mm]
2.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}
[/mm]
Entscheiden Sie, ob folgende Reihe konvergiert:
3.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}})
[/mm]
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Hallo, ich hab zu alles Aufgaben Lösungsansätze und wollt euch fragen ob die richtig sind ;)
Zu 1.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}}
[/mm]
Da hab ich das Quotientenkriterium benutzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] =b
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n}\bruch{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^{2}}}}{\bruch{n!}{2^{n^{2}}}}|
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{n! (n+1)}{2^{(n+1)^{2}}}}{\bruch{n!}{2^{n^{2}}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^{n^{2}}}{n!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{2^{2n+1}} [/mm] durch n teilen
= [mm] \bruch{1+ \bruch{1}{n}}{\bruch{2^{2n+1}}{n}}
[/mm]
für [mm] n\to\infty [/mm] geht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0
und [mm] \bruch{2^{2n+1}}{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm]
[mm] \bruch{1}{\infty} \to [/mm] 0
b=0 < 1 , also ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}} [/mm] absolut konvergent.
2.) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}
[/mm]
Hab ich nach dem Leibniz-Kriterium raus, dass die Folge konvergent ist.
Nun muss ich nach prüfen, ob sie absolut konvergent ist.
[mm] |(-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}| [/mm] = [mm] \bruch{n+2}{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{n+2}{n(n+1)}> \bruch{2}{n(n+1)}= \bruch{2}{n}*\bruch{2}{n+1}
[/mm]
da [mm] \bruch{2}{n} [/mm] divergiert, divergiert auch [mm] \bruch{2}{n}*\bruch{2}{n+1}. [/mm]
Also ist das eine divergente Minorante.
Also konvergiert [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)} [/mm] absolut.
Stimmt das soweit?
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Hallo Jennyyy,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz:
>
> 1.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}}[/mm]
>
> 2.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}[/mm]
>
>
> Entscheiden Sie, ob folgende Reihe konvergiert:
>
> 3.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}})[/mm]
>
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> Hallo, ich hab zu alles Aufgaben Lösungsansätze und wollt
> euch fragen ob die richtig sind ;)
>
> Zu 1.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}}[/mm]
>
> Da hab ich das Quotientenkriterium benutzt: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] =b
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] =
> [mm]|(-1)^{n}\bruch{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^{2}}}}{\bruch{n!}{2^{n^{2}}}}|[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\bruch{n! (n+1)}{2^{(n+1)^{2}}}}{\bruch{n!}{2^{n^{2}}}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n!(n+1)}{2^{n^{2}+2n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{2^{n^{2}}}{n!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n+1}{2^{2n+1}}[/mm] durch n teilen
>
> = [mm]\bruch{1+ \bruch{1}{n}}{\bruch{2^{2n+1}}{n}}[/mm]
>
> für [mm]n\to\infty[/mm] geht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0
> und [mm]\bruch{2^{2n+1}}{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\infty} \to[/mm] 0
>
> b=0 < 1 , also ist [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n!}{2^{n}^{2}}[/mm]
> absolut konvergent. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr schön!
>
> 2.) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}[/mm]
>
> Hab ich nach dem Leibniz-Kriterium raus, dass die Folge
> konvergent ist.
Ja!
> Nun muss ich nach prüfen, ob sie absolut konvergent ist.
>
> [mm]|(-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}|[/mm] = [mm]\bruch{n+2}{n(n+1)}[/mm]
>
> [mm] $\bruch{n+2}{n(n+1)}> \bruch{2}{n(n+1)}$ [/mm]
> $= [mm] \bruch{2}{n}*\bruch{\red{1}}{n+1}$
[/mm]
>
> da [mm]\bruch{2}{n}[/mm] divergiert, divergiert auch
> [mm]\bruch{2}{n}*\bruch{2}{n+1}.[/mm]
> Also ist das eine divergente Minorante. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das wäre eine Reihe des Typs (der Größenordnung) [mm] $\sum\frac{1}{n^2}$ [/mm] und die ist konvergent!
Schätze besser so ab: [mm] $\frac{n+2}{n(n+1)} [/mm] \ > \ [mm] \frac{n}{n(n+1)} [/mm] \ > \ [mm] \frac{n}{n(n+n)}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n}$ [/mm] und du hast mit [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] deine div. Minor.
> Also konvergiert [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+2}{n(n+1)}[/mm]
> nicht!! absolut.
Du hast doch gerade (wenn auch nicht ganz korrekt) gezeigt, dass die Reihe im Betrag divergiert. Wie kannst du dann abs. Konvergenz folgern??
>
> Stimmt das soweit?
Nicht ganz, aber schon ganz gut soweit!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 13.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Dankeschön schachuzipus für die schnelle Antwort!
Ich hatte zum Schluss das ,,nicht'' vergessen, hatte natürlich auch raus, dass es nicht absolut konvergent ist.
Danke :) !
So jetzt noch eine Frage zu Aufgabe 3:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] (1+ [mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}})
[/mm]
Eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] heißt absolut konvergent, wenn
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}| [/mm] konvergiert.
Dann ist doch:
[mm] |(-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] (1+ [mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}})|
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Ich befürchte aber, dass dieser Ansatz schon falsch ist oder?
Wie kann ich diese Aufgabe am besten lösen?
Danke schonmal,
lg Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jenny!
Innerhalb der Klammer kannst Du nicht einfach das [mm] $(-1)^n$ [/mm] durch $1_$ ersetzen.
Mache hier eine Fallunterscheidung für gerade bzw. ungerade $n_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 13.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
für gerade n :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{n}+1}{n}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{n}+1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm]
Da [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] gegen 1 konvergiert, ist [mm] \bruch{n+1}{n} [/mm] eine konvergente Majorante, also konvergiert auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}} [/mm] für gerade n.
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Hallo nochmal,
> für gerade n :
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> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{n}+1}{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n}+1}{n}[/mm] < [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm] gegen 1 konvergiert, ist [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm]
> eine konvergente Majorante, also konvergiert auch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} (1+\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}}[/mm] für
> gerade n.
Um Himmels willen, nein 
Für gerades n hast du richtig:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}} \left(1+\bruch{1}{\wurzel{n}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}+\bruch{1}{n} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\frac{1}{n}$
[/mm]
Damit hast du für gerade n mit [mm] $2\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] eine divergente Minorante!
Also divergiert die Teilreihe für gerade n!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:33 So 13.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
ok...für ungerade n:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{n}
[/mm]
Ich komme leider auf keine Abschätzung, die mir helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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