www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz
Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 So 22.11.2009
Autor: aga88

Aufgabe
Gegeben sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] (2k+1)/ (k*((k+1)) für alle n Element IN.

a) Man zeige [mm] a_n= [/mm] -1 + [mm] ((-1)^n)/ [/mm] n+1 für alle n Element IN.
b) Man zeige, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] _n Element IN einen Grenzwert a Element IR besitzt, und bestimme ein [mm] n_0 [/mm] Element IN mit [mm] Ia_n [/mm] - a I  < 10^-4 für alle n [mm] \ge n_0 [/mm]

Hallo brauche Tips für die Bearbeitung dieser Aufgabe.Kann mir jemand helfen?

Danke im Voraus

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 So 22.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Gegeben sei [mm]a_n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k[/mm] (2k+1)/
> (k*((k+1)) für alle n Element IN.
>  
> a) Man zeige [mm]a_n=[/mm] -1 + [mm]((-1)^n)/[/mm] n+1 für alle n Element
> IN.
>  b) Man zeige, dass die Folge [mm](a_n)[/mm] _n Element IN einen
> Grenzwert a Element IR besitzt, und bestimme ein [mm]n_0[/mm]
> Element IN mit [mm]Ia_n[/mm] - a I  < 10^-4 für alle n [mm]\ge n_0[/mm]
>  
> Hallo brauche Tips für die Bearbeitung dieser Aufgabe.Kann
> mir jemand helfen?

Vorab: Noch niemand ist gestorben, weil er die volle Funktionalität des Formeleditors ausgekostet hat!
Ich vermute, in deiner Aufgabe lautet es:

[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*\frac{2k+1}{k*(k+1)}$ [/mm]

In a) ist nun eine explizite Formel für [mm] a_{n} [/mm] angegeben, die du herleiten sollst. Ich würde es als erstes mit einer Partialbruchzerlegung des Terms

[mm] $\frac{2k+1}{k*(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{A}{k} [/mm] + [mm] \frac{B}{k+1}$ [/mm]

versuchen und dann die Teleskopsumme betrachten, die entsteht, wenn du einige Folgenglieder [mm] a_{n} [/mm] aufschreibst.

Zu b):

Das die Folge [mm] a_{n} [/mm] einen Grenzwert besitzt, ist mit a) mehr als offensichtlich. Da du es zeigen sollst, weiß ich jetzt aber nicht, wie genau das bei euch aussehen soll. Je nachdem, wie weit ihr seid, und was ihr schon benutzen dürft, darfst du einfach die Grenzwertsätze benutzen oder du musst eben den Grenzwert "raten" und dann einen Konvergenznachweis führen.

Zweiteres ist für den zweiten Teil der Aufgabe aber wahrscheinlich ohnehin sinnvoller.

Du sollst ein [mm] n_{0} [/mm] finden, sodass für alle [mm] $n>n_{0}$ [/mm] gilt:

[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] 10^{-4} [/mm] = [mm] \varepsilon$. [/mm]

Ich habe das [mm] \varepsilon [/mm] hingeschrieben, damit du die Analogie zur Konvergenzdefinition einer Folge erkennst. So, und nun brauchst du die explizite Darstellung von [mm] a_{n} [/mm] und deinen geratenen Grenzwert, setzt sie ein, schätzt nach oben ab, und rechnest ein passendes [mm] n_{0} [/mm] aus.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 So 22.11.2009
Autor: aga88

Ich habe nun  [mm] I((-1)^n)/ [/mm] (n+1)I < 10^-4

stimmt das? und wenn ja,wie kann ich dann weiterrechnen? was bedeutet n und was bedeutet [mm] n_0? [/mm] ist [mm] n_0 [/mm] immer gleich 0? Dankeschön!

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 22.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Ich habe nun  [mm]I((-1)^n)/[/mm] (n+1)I < 10^-4
>  
> stimmt das? und wenn ja,wie kann ich dann weiterrechnen?
> was bedeutet n und was bedeutet [mm]n_0?[/mm] ist [mm]n_0[/mm] immer gleich
> 0? Dankeschön!

[mm] n_{0} [/mm] ist nur eine Bezeichnung. Du sollst hier ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] finden, sodass für alle $n > [mm] n_{0}$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| [/mm] < 10^-4$.

Das ist effektiv nur ein bisschen Ungleichungsumstellen! Du schreibst:

[mm] $\left|\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| [/mm] < 10^-4$

[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n+1} [/mm] < 10^-4$,

und nun stellst du einfach nach n um. Dann hast du eine Ungleichung der Form n > ..., und dieses ...  auf der rechten Seite ist dein gesuchtes [mm] n_{0}, [/mm] weil ja die Ungleichung offenbar für alle n > ... erfüllt ist.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 So 22.11.2009
Autor: aga88

Hallo Stefan,

ist das richtige Ergebnis 9999 < n? Also [mm] n_0 [/mm] ist 10.000? Denn: n [mm] \ge n_0, [/mm] also n [mm] \ge [/mm] 10.000. stimmt's?

Dankeschön!

Und dir einen schönen Abend!

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 So 22.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo aga88,

> Hallo Stefan,
>  
> ist das richtige Ergebnis 9999 < n? Also [mm]n_0[/mm] ist 10.000?
> Denn: n [mm]\ge n_0,[/mm] also n [mm]\ge[/mm] 10.000. stimmt's?

Ja, das ist ein mögliches Ergebnis. Es hätte aber auch schon [mm] $n_{0} [/mm] = 9999$ funktioniert, denn wie du ja selbst schreibst: n >9999, also ist die Ungleichung erfüllt für alle n > [mm] n_{0} [/mm] = 9999.

Grüße,
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]