Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 31.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Prüfen Sie ob [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] konvergent ist |
Laut Lösung soll diese Funktion divergent sein. Aber wenn x gegen 0 geht, dann geht die Funktion gegen [mm] e^{-\infty} [/mm] was gegen 0 ist.
Dann konvergiert die Funktion doch und zwar gegen 0 oder nicht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 31.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachte hier mal Beide Grenzwerte, also einmal den "von oben", also rechtsseitigen und den "von unten", also linksseitigen.
Diese sind hier nämlich Unterschiedlich.
Nimm zuerst mal den von links.
Ersetze mal [mm] x\to0 [/mm] durch die Folge [mm] x_{n}:=-\bruch{1}{n} [/mm] und lasse dann n gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
Also:
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-\bruch{1}{-\bruch{1}{n}}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{+\bruch{1}{\bruch{1}{n}}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{+n} [/mm] $$
$$ [mm] =\infty [/mm] $$
Jetzt den von rechts
[mm] x\to0 [/mm] ersetze nun durch die Folge [mm] x_{n}:=+\bruch{1}{n}
[/mm]
Das ergibt:
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}} [/mm] $$
$$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-n} [/mm] $$
$$ =0 $$
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 02.01.2009 | | Autor: | JMW |
Hi, danke für die Erklärung. Aber ich blicke da nicht so recht durch. Wieso muss ich es von linksseitig und rechtsseitig betrachten. Und [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] ist für mein Verständnis immer gegen 0 ob man es jetzt von rechts betrachtet oder von links.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Aufgabe ist falsch formuliert, sie sollte so heißen:
Prüfen Sie ob $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] $ existiert.
Dieser Grenzwert existiert genau dann, wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] gilt, dass aus [mm] $x_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] folgt, dass auch [mm] $(e^{-1/x_n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert. (Warum? Beweis?)
Letzteres ist genau dann der Fall, wenn für zwei beliebige Folgen [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR \setminus\{0\}$, [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] folgt, dass [mm] $a:=\lim_{n \to \infty} e^{-1/x_n}$ [/mm] und [mm] $b:=\lim_{n \to \infty}e^{-1/y_n}$ [/mm] existieren und dann auch $a=b$ gilt. (Warum? Beweis?)
Mit dem Tipp oben, also [mm] $x_n=-1/n$ [/mm] und [mm] $y_n=1/n$, [/mm] erkennst Du dann, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}}$ [/mm] nicht existiert.
Nebenbei:
Wenn man $x [mm] \to [/mm] 0$ durch $x [mm] \to [/mm] 0^+$ ersetzt (d.h. $0 < x [mm] \to [/mm] 0$), dann existiert der Grenzwert allerdings. (Gleiches gilt für $x [mm] \to [/mm] 0^-$, sofern der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] zugelassen ist.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
