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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Di 28.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] (a_n):=(1+(-1)^n\bruch{n-1}{n+1}) [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz ist Folgender:
Sei [mm] n>m, \varepsilon>0 [/mm], dann gilt [mm] |a_{2n}-a_m|<\varepsilon [/mm].
Das bedeutet dann für ein gerades m:
[mm] 1+\bruch{2n-1}{2n+1}-(1+\bruch{m-1}{m+1})=\bruch{4n-2m}{2nm+2n+m+1} < ... < \bruch{2}{m+1}<\varepsilon[/mm]
und für ein ungerades m:
[mm] 1+\bruch{2n-1}{2n+1}-(1-\bruch{m-1}{m+1})=\bruch{4nm-2}{2nm+2n+m+1} < ... < \bruch{2m}{m+1}<\varepsilon[/mm]
Was bedeuten denn jetzt diese 2 Ergebnisse ?
Da man in beiden Fällen für ein grösser werdendes m immer kleiner Epsilon bleibt, ist die Folge konvergent ?
Oder ist der ganze Ansatz falsch ?
Danke, Susanne.
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> Untersuchen Sie, ob [mm](a_n)[/mm] konvergiert und berechnen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert:
> [mm](a_n):=(1+(-1)^n\bruch{n-1}{n+1})[/mm]
Hallo,
oft fährt man besser, wenn man sich erstmal anschaut, ob man beweisen oder widerlegen möchte.
Was man ja schonmal sieht: die Folgenglieder hängen davon ab, ob n gerade oder ungerade ist.
Du hast
[mm] a_n=\begin{cases} (1+\bruch{n-1}{n+1}), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (1-\bruch{n-1}{n+1}), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}.
[/mm]
Bedenke nun, daß [mm] \bruch{n-1}{n+1}=\bruch{n+1-2}{n+1}=1-\bruch{2}{n+1} [/mm] ist.
Jetzt siehst Du leicht, wogegen die geraden Folgenglieder konvergieren und wogegen die ungeraden.
Du hast also zwei Teilfolgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren.
Also?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Di 28.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
VIELEN DANK !!
> oft fährt man besser, wenn man sich erstmal anschaut, ob
> man beweisen oder widerlegen möchte.
Wie wahr, und ich Esel habe 2 Blätter vollgekritzelt mit Rechnungen.
> Du hast also zwei Teilfolgen, die gegen verschiedene
> Grenzwerte konvergieren.
... also divergent.
VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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