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| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
Konvergent oder Divergent? |
Wenn man die beiden Ausdrücke einzeln betrachtet
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}
[/mm]
ist ja der erste divergent (harmonische Reihe)
und der zweite ist ja alternierend!?^^
(wieso ist dann
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
konvergent)?
Wenn ich jetzt die ersten paar Werte einsetzte geht die Lösung gegen 0,6.. und es ist ersichtlich das konvergenz vorliegt. Ich weis dass der Grenzwert ln 2 also ca 0,69 ist aber wie kann man denn zeigen dass der Grenzwert genau ln2 ist?
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Hallo meldrolon,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
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> Konvergent oder Divergent?
> Wenn man die beiden Ausdrücke einzeln betrachtet
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}[/mm]
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> ist ja der erste divergent (harmonische Reihe)
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> und der zweite ist ja alternierend!?^^
Wie hast du das denn zerlegt?
Das klappt so nicht ... Wie fügst du es mit diesen beiden Teilreihen wieder zusammen zur Ausgangsreihe?
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> (wieso ist dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
> konvergent)?
Ich hoffe, du hast schon einige Konvergenzkriterien kennengelernt 
Deine Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k}$ [/mm] kannst du mit dem ![[]](/images/popup.gif) Leibnizkriterium auf Konvergenz untersuchen
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> Wenn ich jetzt die ersten paar Werte einsetzte geht die
> Lösung gegen 0,6.. und es ist ersichtlich das konvergenz
> vorliegt. Ich weis dass der Grenzwert ln 2 also ca 0,69
> ist aber wie kann man denn zeigen dass der Grenzwert genau
> ln2 ist?
Das kannst du durch Entwicklung des [mm] $\ln$ [/mm] in eine Taylorreihe berechnen ...
[mm] $\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot{}x^k$ [/mm] für [mm] $-1
Dann ist [mm] $\ln(2)=\ln(1+1)=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 17.10.2008 | | Autor: | XPatrickX |
> Das kannst du durch Entwicklung des [mm]\ln[/mm] in eine Taylorreihe
> berechnen ...
>
> [mm]\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot{}x^k[/mm]
> für [mm]-1
>
> Dann ist [mm]\ln(2)=\ln(1+1)=...[/mm]
>
>
Wobei man hier noch den Abel'schen Grenzwertsatz berücksichten muss. Der Konvergenzradius ist [mm] |x|\red{<}1, [/mm] sodass für x=1 gar nicht klar ist, dass die Reihe auch wirklich konvergiert.
Gruß Patrick
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