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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Do 16.10.2008 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Konvergiert die Folge [mm] a_{n}, [/mm] wenn
[mm] a_{n}= (100+1/n(-1)^n)^2 [/mm] |
Hallo,
hab' ein paar Probleme hier einen sauberen Beweis zu führen.
Behauptung: [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen [mm] 100^2
[/mm]
Beweis:
-->zunächst Binom ausrechnen:
[mm] (100^2+200/n*(-1)^n+1/n^2*(-1)^{2n})
[/mm]
[mm] -->(-1)^n [/mm] konvergiert nicht (muss ich dass noch beweisen?), aber [mm] (-1)^n/n [/mm] konvergiert gegen 0, da 1/n --> 0 , Majorantenkriterium
--> analog dazu auch [mm] (-1)^{2n}/n^2
[/mm]
--> somit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} =100^2
[/mm]
Fehlt an meinem Beweis was grundsätzliches? Oder ist etwas falsch?
Ich habe auch versucht, das ganze mit [mm] \varepsilon [/mm] abzuschätzen, aber da komme ich nicht weiter:
gesucht N, sodass [mm] |(100+1/n(-1)^n)^2 -100^2|<\varepsilon
[/mm]
durch Umformen erhalte ich:
[mm] (-1)^n [/mm] > [mm] (\wurzel{\varepsilon+100^2}-100)*n
[/mm]
Lohnt es sich hier noch weiter zu machen, oder bin ich da total auf dem falschen Dampfer?
Vielen Dank im Voraus!!!!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Do 16.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Dein erster Teil ist voellig richtig und wuerde mir reichen. Den zweiten Teil mit dem [mm] $\varepsilon$, [/mm] der funktioniert auch. Ich habe blos gerade nicht die Zeit ihn Dir aufzuschreiben. Du musst eben zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N+N(\varepsilon)$ [/mm] finden (d.h. definieren) so dass die Abschaetzung fuer alle [mm] $n\geqslant [/mm] N$ gilt. Wenn Du das noch hinbekommst, dann ist Dein Beweis ganz sauber durchgefuehrt. Vielleicht hat jemand andere hier mehr Zeit Dir die Antwort fuer den zweiten Teil zu geben.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ronja,
> Konvergiert die Folge [mm]a_{n},[/mm] wenn
> [mm]a_{n}= (100+1/n(-1)^n)^2[/mm]
> Hallo,
>
> hab' ein paar Probleme hier einen sauberen Beweis zu
> führen.
>
> Behauptung: [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen [mm]100^2[/mm]
> Beweis:
>
> -->zunächst Binom ausrechnen:
> [mm](100^2+200/n*(-1)^n+1/n^2*(-1)^{2n})[/mm]
Das ist nicht unbedingt notwendig.
>
> [mm]-->(-1)^n[/mm] konvergiert nicht (muss ich dass noch beweisen?),
> aber [mm](-1)^n/n[/mm] konvergiert gegen 0, da 1/n --> 0 ,
> Majorantenkriterium
>
> --> analog dazu auch [mm](-1)^{2n}/n^2[/mm]
Hier kannst Du auch nutzen:
[mm]\bruch{(-1)^{2n}}{n^2} = \bruch{1}{n^2} [/mm]
> --> somit ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} =100^2[/mm]
>
> Fehlt an meinem Beweis was grundsätzliches? Oder ist etwas
> falsch?
Ich denke nicht. Es sei denn, das [mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium ist verlangt.
>
> Ich habe auch versucht, das ganze mit [mm]\varepsilon[/mm]
> abzuschätzen, aber da komme ich nicht weiter:
>
> gesucht N, sodass [mm]|(100+1/n(-1)^n)^2 -100^2|<\varepsilon[/mm]
>
> durch Umformen erhalte ich:
> [mm](-1)^n[/mm] > [mm](\wurzel{\varepsilon+100^2}-100)*n[/mm]
>
> Lohnt es sich hier noch weiter zu machen, oder bin ich da
> total auf dem falschen Dampfer?
Da kann ich Deine Rechnung nicht nachvollziehen.
Du musst doch
$ | [mm] \bruch{(-1)^n \cdot 200}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] | $ durch [mm] \varepsilon [/mm]
abschätzen.
Stattdessen kannst Du auch
$ | [mm] \bruch{(-1)^n \cdot 200}{n} [/mm] | + | [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] | $ durch [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen.
Denn nach Dreiecksungleichung ist der erste linke Term kleiner als der zweite.
Kommst Du jetzt weiter?
Gruß
Sigrid
>
> Vielen Dank im Voraus!!!!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 16.10.2008 | | Autor: | ronja33 |
Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf
[mm] (-1)^2n/n^2= 1/n^2 [/mm] kommt.
Okay, ich kann es also mit Hilfe der Dreiecksungleichung versuchen...
[mm] |(-1)^n*200/n+1/n^2|\le [/mm]
[mm] |(-1)^n*200/n|+|1/n^2|<\varepsilon
[/mm]
Kann ich nun die einzelnen Beträge getrennt voneinander betrachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 16.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnellen Antworten.
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> Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf
> [mm](-1)^2n/n^2= 1/n^2[/mm] kommt.
Es muß [mm] (-1)^{2n} [/mm] heißen und das ist = 1
>
>
> Okay, ich kann es also mit Hilfe der Dreiecksungleichung
> versuchen...
>
> [mm]|(-1)^n*200/n+1/n^2|\le[/mm]
> [mm]|(-1)^n*200/n|+|1/n^2|<\varepsilon[/mm]
[mm] |(-1)^n*200/n|+|1/n^2| [/mm] = 200/n [mm] +1/n^2 \le [/mm] 200/n +200/n = 400/n
Jetzt Klar ?
FRED
>
> Kann ich nun die einzelnen Beträge getrennt voneinander
> betrachten?
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 16.10.2008 | | Autor: | ronja33 |
Okay, super...ich denke ich hab's verstanden! Vielen lieben Dank.
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