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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 29.07.2008 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*\wurzel{n}}[/mm]. |
Hallo zusammen,
also bei der Reihe sieht man ja direkt, dass [mm]a_{n} := \bruch{1}{n*\wurzel{n}}[/mm] eine Nullfolge ist. Also ich würde ja sagen, dass die divergiert und mit dem Minorantenkriterium nachweisen, aber ich hab da so meine Probleme:
[mm]\left|a_{n}\right|=\left|\bruch{1}{n*\wurzel{n}}\right|=\left|\bruch{1}{n*n^{\bruch{1}{n}}}\right|[/mm].
Jetzt beim Abschätzen würde ich ja gerne nach [mm]\bruch{1}{n}[/mm] abschätzen wolle. Aber ich bekomme das nicht hin nach unten abzuschätzen, denn wenn ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nach = abschätzen würde, dann mache ich den Bruch insgesamt größer und schätze nach oben ab.
Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp dafür geben?
Vielen Dank schonmal im voraus!!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
> \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n\wurzel{n}}.
> Hallo zusammen,
>
> also bei der Reihe sieht man ja direkt, dass
> a_{n}:=\bruch{1}{n\wurzel{n}} eine Nullfolge ist. Also ich
> würde ja sagen, dass die divergiert und mit dem
> Minorantenkriterium nachweisen, aber ich hab da so meine
> Probleme:
Ich glaube, die Reihe konvergiert. Versuche erst mal Quotienten- oder Wurzelriterium.
Gruß Abakus
>
> <mm>[mm]|a_{n}|=|\bruch{1}{n\wurzel{n}}|=|\bruch{1}{nn^{\bruch{1}{n}}}|<(mm>.[/mm]
> Jetzt beim Abschätzen würde ich ja gerne nach 1/n abschätzen wolle. Aber ich bekomme das nicht hin nach unten abzuschätzen, denn wenn ich 1/n nach = abschätzen würde, dann mache ich den Bruch insgesagt größer und schätze nach oben ab.
> Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp dafür geben?
> Vielen Dnak schonmal im voraus!!!
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 30.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe ist konvergent, aber Quotienten- und Wurzelkriterium führen nicht zum Ziel.
Probier es mal mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz
FRED
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Hallo!
Beim Lesen deines Artikel ist mir noch eine Frage gekommen: Du meinst schon, dass in der Summe
[mm] \bruch{1}{n*\wurzel{n}}
[/mm]
steht und nicht
[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
? Deine Umformung
> [mm]\left|a_{n}\right|=\left|\bruch{1}{n*\wurzel{n}}\right|=\left|\bruch{1}{n*n^{\bruch{1}{n}}}\right|[/mm].
hat mich zu dieser Vermutung geführt.
Stefan.
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