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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Do 03.04.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{i*(i+1)}=2 [/mm] |
Hi,
ich weiß schon recht früh nicht mehr weiter:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{i*(i+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{2}{i*(i+1)}=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}
[/mm]
Dass heißt, es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}=1, [/mm] was ich jetzt noch zeigen muss.
Vielleicht mit geometrischer Reihe? Dann erst einmal eine Indexverschiebung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{(i+1)*(i+2)}
[/mm]
Dann kann ich die Klammer noch ausmultiplizieren, aber das hilft mir nicht weiter.
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo barsch,
> Zu zeigen:
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{i*(i+1)}=2[/mm]
> Hi,
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> ich weiß schon recht früh nicht mehr weiter:
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{i*(i+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{2}{i*(i+1)}=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}[/mm]
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> Dass heißt, es gilt:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}=1,[/mm]
> was ich jetzt noch zeigen muss.
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> Vielleicht mit geometrischer Reihe? Dann erst einmal eine
> Indexverschiebung:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i*(i+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{(i+1)*(i+2)}[/mm]
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> Dann kann ich die Klammer noch ausmultiplizieren, aber das
> hilft mir nicht weiter.
Zerlege die Reihe so:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{2}{i*(i+1)}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{A}{i}+\bruch{B}{i+1}[/mm]
Die Koeffizienten sind aus dieser Gleichung zu bestimmen:
[mm]\bruch{2}{i*(i+1)}=\bruch{A}{i}+\bruch{B}{i+1}[/mm]
Das bringt Dich dann weiter.
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> MfG barsch
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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