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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Lena123 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a)
Sei [mm] (a_n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge. Angenommen die teilfolge (a_2n) und (a_2n-1) konvergieren beide gegen a [mm] \in\IR. [/mm] Zeige, dass dann auch [mm] a_n \to [/mm] a konvergiert.
b) Es besitzt jede teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge. Konvergiert dann [mm] (a_n) [/mm] ???
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Hallo , ich habe versucht die a) zulösen, mein Lösungsvorschlag wäre:
Wenn a_2n und a_2n-1 -> a , dann muss [mm] a_n [/mm] -> a
Beweis:
Sei e> o
. N(Nummer/Zahl) in abh. zu e mit | a_2n-a| = [mm] N_1
[/mm]
1. voraus: konvergiert (a_2n) gegen a, d.h. es gibt zu obigem e ein [mm] N_1 [/mm] mit |a_2n - a| [mm] N_1.
[/mm]
2. voras. konvergiert (a_2n-1) gegen a, d.h. es gibt zu obigem e ein [mm] N_2 [/mm] mit |a_2n-1 - a| [mm] N_2.
[/mm]
Wähle nun N := [mm] max{N_1;N_2}, [/mm] dann gilt für alle n > N
2n > N und 2n-1 > N und damit
|a_2n - a| < e und |a_2n-1 - a| < e also
[mm] |a_n [/mm] - a| < e.
( e= Epsilon)
könnte man damit a) beweisen??? oder ist das ein total falscher Ansatz?!
b) habe noch keine gute Idee
wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte !!!! dankeeeee
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> a)
> Sei [mm](a_n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] eine Folge. Angenommen die teilfolge
> (a_2n) und (a_2n-1) konvergieren beide gegen a [mm]\in\IR.[/mm]
> Zeige, dass dann auch [mm]a_n \to[/mm] a konvergiert.
> b) Es besitzt jede teilfolge von [mm](a_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge. Konvergiert dann [mm](a_n)[/mm] ???
>
> Hallo , ich habe versucht die a) zulösen, mein
> Lösungsvorschlag wäre:
>
> Wenn a_2n und a_2n-1 -> a , dann muss [mm]a_n[/mm] -> a
>
> Beweis:
>
> Sei e> o
. N(Nummer/Zahl) in abh. zu e mit | a_2n-a| =
> [mm]N_1[/mm]
>
> 1. voraus: konvergiert (a_2n) gegen a, d.h. es gibt zu
> obigem e ein [mm]N_1[/mm] mit |a_2n - a| [mm]N_1.[/mm]
>
> 2. voras. konvergiert (a_2n-1) gegen a, d.h. es gibt zu
> obigem e ein [mm]N_2[/mm] mit |a_2n-1 - a| [mm]N_2.[/mm]
>
> Wähle nun N := [mm]max{N_1;N_2},[/mm] dann gilt für alle n > N
>
> 2n > N und 2n-1 > N und damit
>
> |a_2n - a| < e und |a_2n-1 - a| < e also
>
> [mm]|a_n[/mm] - a| < e.
> ( e= Epsilon)
>
> könnte man damit a) beweisen??? oder ist das ein total
> falscher Ansatz?!
Ich denke, der Ansatz ist schon richtig - nur die Detailformulierung macht mir etwas Mühe beim Lesen ...
> b) habe noch keine gute Idee
Dann müsstest Du vielleicht versuchen, ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Betrachte etwa [mm] $a_n [/mm] := [mm] (-1)^n$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 So 18.11.2007 | | Autor: | Lena123 |
Vielen Dank für die Hilfe !!!!!!
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