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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 10.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | | Es ist die Konvergenz des Dirichlet-Integrals [mm] \integral_{0}^{\infty}{(sin(x)/x) dx} [/mm] zu zeigen. |
Hallo,
wir hatten als Konvergenzkriterium nur das Cauchy-Konvergenzkriterium. Daher sollte ich das wohl anwenden (ich habe es aber auch mit dem Majorantenkriterium versucht, aber leider keine Majorante gefunden).
Ich habe bisher:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{(sin(x)/x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x)*(1/x) dx} [/mm] = [sin(x)*ln(x)] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(x)*ln(x) dx}
[/mm]
So, ich denke jetzt könnte man mit dem Cauchy-Konvergenzkriterium weiterkommen, leider weiß ich nicht wie :(
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mo 10.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub kaum, dass du so weiter kommst!
Teil das Integral in ne Summe von Integralen, die jeweils [mm] \pi [/mm] lang sind. dann verwenden, dass sinx in den Intervallen das Vorzeichen wechselt, du kriegst also ne Summe über ne alternierende Nullfolge. wegen [mm] -1\le sinx\le [/mm] 1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 10.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
vielen Dank für den Tipp. Aber das geht tatsächlich nicht mit Cauchy? Mich wundert das ein bisschen, da wir den Satz dann nie angewendet haben und es wirklich für uns das einzige Konvergenzkriterium für Integrale ist.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 10.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau meinst du hier mit dem Cauchy- Kriterium?
Dass die Differenz der Integrale bis n und bis m (n<m ) kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist, wenn [mm] n>N(\varepsilon) [/mm]
Dann musst du eben nur das hintere Teil des Integrals abschätzen.Aber auch da brauchst du das alternieren!
denk dran : [mm] \summe_{i=1}^{n}1/i [/mm] divergiert, [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^i*1/i [/mm] divergiert, und das ist mit Cauchy schwer!
aber warum soll deine partielle Integration helfen, sinx*lnx schwankt für große x zwischen riesigen neg, und riesigenm pos, Wert, das Integral über cos*ln ist die gleiche Schwierigkeit wie sin*ln da cos ja nur ein verschobener sin ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 10.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
meintest du das so:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{(sin(x)/x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\pi}^{2 * \pi}{(sin(x)/x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2* \pi}^{3* \pi}{(sin(x)/x) dx}+ [/mm] ...
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Di 11.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, genau das hat leduart gemeint.
Gruß,
dormant
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