Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mo 27.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man entscheide jeweils, ob die angegebenen Folgen konvergieren, und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert:
a) [mm] (n^k)_{n \in \IN}, [/mm] wobei k [mm] \in \IZ [/mm] fest
b) [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] b_n:=\bruch{1}{4}\summe_{k=1}^{n}k^3
[/mm]
c) [mm] (\bruch{2^n}{n!})_{n \in \IN} [/mm] |
Hallo!
Ich bin mir mit meinen Ergbnissen nicht ganz sicher.
Zu a) glaube ich, dass die Folge gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert.
Zu b) gegen [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Zu c) gegen 0.
Sind die Ergebnisse richtig? Wie kann ich das richtig aufschreiben?
Ach ja, die Regel von l'Hospital darf nicht angewendet werden.
Vielen Dank!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Di 28.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Bei Aufgabe 1 musst Du eine Fallunterscheidung machen für $(i) \ k < 0$ , $(ii) \ k = 0$ sowie $(iii) \ k>0$ .
Bei Aufgabe 2 stimmt das Ergebnis nicht. Wie Du an der ![[]](/images/popup.gif) Formel [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*n^2*(n+1)^2$ [/mm] erkennen kannst, wächst dieser Ausdruck über alle Grenzen.
Aufgabe 3 ist richtig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 28.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Meinst Du hier bei Aufgabe b) etwa die Folge [mm] $b_n [/mm] \ =\ [mm] \bruch{1}{\red{n}^4}*\summe_{k=1}^{n}k^3$ [/mm] ?
Dann stimmt Dein Grenzwert mit [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Do 30.11.2006 | | Autor: | xsara |
Lieber Loddar,
vielen Dank für deine Hilfe.
Deine Korrektur der Aufgabenstellung ist natürlich richtig.
Dennoch weiß ich nicht, wie man den Beweis führt, dass
0= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2^n}{n!})_{n \in \IN} [/mm] gilt.
Kann mir jemand weiter helfen?
LG xsara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Do 30.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo xsara!
Zerlege den Bruch in seine "Bestandteile" und wende dann die Grenzwertsätze an:
$\bruch{2^n}{n!} \ = \ \bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{ \text{ n Faktoren}} }{\underbrace{1*2*3*...*n}_{\text{ n Faktoren}}} \ = \ \underbrace{ \bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{n} }_{\text{ n Faktoren}} \ \ \overrightarrow{n\rightarrow\infty}} \ ...$
Entscheidend ist hier dann im Produkt der letzte Bruch (warum?).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Do 30.11.2006 | | Autor: | Tequila |
Hi,
ich weis nicht mehr ob man es so auch zeigen darf, aber könnte man nicht einfach den Bruch in Nenner und Zähler aufteilen und zeigen das für bestimmte n entweder der Nenner > Zähler oder der Zähler > Nenner ist ?
Das könnte man ja dann per Induktion beweisen ...
Kann aber sein das das nicht ausreichend ist ;)
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