Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Do 10.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}
[/mm]
Zeigen Sie dass die unendliche Reihe konvergiert und zeigen Sie deren Wert. |
Hatte letztens einen Induktionsbeweis mit dieser Aufgabe und nun soll ich zeigen, dass sie konvergiert.
Könntet ihr nur mal kontrollieren, wo mein fehler ist ? Wäre nett.
Ich benutze für die Konvergenz das Quotientenkriterium.
Soll ich die Formel auch erstmal hinschreiben ?
Ich leg einfach mal los.
[mm] \bruch{\bruch{k+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k}{2^{k}}} [/mm]
nun per kehrbruch den nenner nach oben holen
[mm] \bruch{k+1 * 2^{k}}{2^{k+1} * k} [/mm]
nun kürzen
[mm] \bruch{k+1 }{2 * k} [/mm]
kann ich nun noch etwas vereinfachen ? oder nun einfach k = [mm] \infty [/mm] setzen ?
aber dann hätte ich doch sowas wie [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
gruß smuji
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Do 10.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
>
> Zeigen Sie dass die unendliche Reihe konvergiert und zeigen
> Sie deren Wert.
mal nebenbei: Es ist doch auch der Wert der Reihe zu berechnen. Falls ihr
Potenzreihen schon hattet:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k=1+\sum_{k=1}^\infty x^k$
[/mm]
mal ableiten (für $|x| < 1$). Dann schau' Dir an, was für speziell [mm] $x=1/2\,$ [/mm] entsteht -
eventuell kann man auch sowas wie [mm] $1=1/x*x\,$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] mit ins Spiel bringen.
Was auch geht (gewisse Konvergenzen sollte man begründen):
[mm] $\sum_{k=1}^\infty k*x^k=\sum_{k=1}^\infty (k-1)x^k +\sum_{k=1}^\infty x^k$
[/mm]
Mit [mm] $S:=S(x):=\sum_{k=1}^\infty k*x^k$ [/mm] steht dann da (nach Indexshift)
[mm] $S=x*S+\frac{x}{1-x}$
[/mm]
Löse das mal nach [mm] $S\,$ [/mm] auf.
Nebenbei: Prinzipiell sehen wir hier etwa auch, dass
[mm] $f(x)=\sum_{k=1}^\infty x^k$ $\left(=x*\sum_{k=0}^\infty x^k\right),$
[/mm]
was für $0 < |x| < [mm] 1\,$ [/mm] ja nichts anderes als
[mm] $f(x)=\frac{x}{1-x}$
[/mm]
ist und nach der Potenzreihentheorie ja nach einer kleinen Umformung
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x}*\sum_{k=1}^\infty k*x^k$
[/mm]
ergibt, dann
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x}*S(x)$
[/mm]
folgt. Mit anderen Worten:
Du kannst auch [mm] $f'(x)\,$ [/mm] mit der Quotientenregel berechnen und dann
[mm] $S(x)=x*f'(x)\,$
[/mm]
ausrechnen - bei Deiner Aufgabe dann am Ende speziell noch [mm] $x:=1/2\,$ [/mm] setzen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 10.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du hast gezeigt, dass die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{2^{k}}
[/mm]
absolut konvergiert. Aus diesem Grund erhalten wir mit
[mm] \sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (siehe deine Aufgabe hier)
die Summe der Reihe durch
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{2^{k}}=\lim_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{2^{k}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n(2-\frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n})}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n}\right)=2.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Hallo Smuji!
> nun per kehrbruch den nenner nach oben holen
> [mm]\bruch{k+1 * 2^{k}}{2^{k+1} * k}[/mm]
Hier fehlen entscheidende Klammern!!
> nun kürzen [mm]\bruch{k+1 }{2 * k}[/mm]
> kann ich nun noch etwas vereinfachen ?
Klammere mal $k_$ aus und kürze.
> oder nun einfach k = [mm]\infty[/mm] setzen ?
So etwas gibt es nicht. Wie Dir schon geschireben wurde, heißt das z.B. "den Grenzwert für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] bilden".
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, klammern vergessen,,also nur mal kurz zum verständnis....
den wert einer reihe, erhalte ich dadurch, wenn ich sie gegen unendlich laufen lasse und den wert bestimme... sprich limes -> [mm] \infty [/mm] ... veruschen so weit auszuklammern wie möglich und zu verienfachen...und dann schauen, welchen wert ich erhalte ?!?
gruß smuji
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok, klammern vergessen,,also nur mal kurz zum
> verständnis....
>
>
> den wert einer reihe, erhalte ich dadurch, wenn ich sie
> gegen unendlich laufen lasse und den wert bestimme...
> sprich limes -> [mm]\infty[/mm] ... veruschen so weit auszuklammern
> wie möglich und zu verienfachen...und dann schauen,
> welchen wert ich erhalte ?!?
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine konvergente Reihe, so ist deren Reihenwert
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}a_n
[/mm]
FRED
>
>
> gruß smuji
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke
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