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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 09.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | a) Finden Sie alle konvergenten Teilfolgen der Folge:
1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, [mm] \ldots
[/mm]
b) Finden Sie alle konvergenten Teilfolgen der Folge:
1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, [mm] \ldots
[/mm]
c) Für welche reelen Zahlen [mm] \alpha [/mm] gibt es eine Teilfolge der Folge
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , [mm] \bruch{2}{3} [/mm] , [mm] \bruch{1}{4} [/mm] , [mm] \bruch{2}{4} [/mm] , [mm] \bruch{3}{4} [/mm] , [mm] \ldots
[/mm]
die gegen [mm] \alpha [/mm] konvergiert. |
Hallo!
Diese Aufgabe bereitet mir derzeit Kopfzerbrechen. Ich sehe keine Möglichkeit, tatsächlich alle Teilfolgen zu finden, bzw. eine Vorschrift, für die das zutrifft.
Nun aber mal zu dem was man denn wissen kann.
Ich ordne zur a) mal ein paar Werte zu: Sei [mm] (x_{n})_{n\in \IN}
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=-1
[/mm]
[mm] x_{4}=1 [/mm]
[mm] x_{5}=1
[/mm]
[mm] x_{6}=1
[/mm]
usw.
Nimmt man mal nur die Werte für den Häufungswert 1 raus erhält man: 1; 4; 5; 6; 11; 12; 13; 14; 15; 16; usw.
Alleine hierfür finde ich keine passende Vorschrift um eine Teilfolge zu definieren. Nimmt man die Anzahl der Werte bis -1 erreicht wird, erhält man das Muster: 1, 3, 5, usw.
Nur wüsste ich nicht wie ich daraus was gewinnen kann.
Mein weiterer Gedanke war, dass ich vielleicht erst einmal eine konvergente Teilfolge finde und dafür wollte ich mir die Vorschrift so definieren, dass sie immer den mittleren Wert der Pakete annimmt, sprich 1; 5; 13; 25; usw.
Das würde dann in etwa so aussehen: 1 [mm] \underbrace{\to}_{+4} [/mm] 5 [mm] \underbrace{\to}_{+4*2} [/mm] 13 [mm] \underbrace{\to}_{+4*3} [/mm] 25 [mm] \underbrace{\to}_{+4*4} [/mm] usw.
Aber auch hier endete der Versuch dann in einer Sackgasse.
Klar ist, dass jede Teilfolge konvergente Teilfolgen hat, dass soll man wohl auch ausnutzen. Die Frage ist nur wie?
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 09.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Sei [mm] s_n:=1+2+....+n.
[/mm]
Dann: [mm] s_1=1, s_2=3, s_3=6,....
[/mm]
[mm] s_n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Do 09.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Hallo Fred,
tut mir leid, doch leider weiß ich nicht wie ich diesen Tipp verwenden soll.
Ich verstehe was diese Teilfolge erzielt, ich bekomme jedes Mal das letzte Glied eines Pakets. Aber ich wüsste nicht, wie mir diese Sache helfen wird.
Mit [mm] (-1)^n [/mm] könnte ich den Vorzeichenwechsel zeigen, aber selbst wenn ich es in Verbindung mit [mm] s_{n} [/mm] versuche zu bringen, komme ich auf keinen Ansatz.
Ardbeg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 11.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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