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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 So 28.11.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich hab ein kleines Problem mit der folgenden Aufgabe:
[mm] \summe (\vektor{3k \\ 2k}) [/mm] * [mm] 4^{-k}
[/mm]
Nun soll cih den Grenzwert bestimmen und habe da dann das Quotientenkriterium genommen. Nach einigem Umformen bin ich dann zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] \bruch{(3k)!}{(2k)! * (3k-2k)! * 4^{k}} [/mm]
und dann mit dem Kriterium:
[mm] \bruch{(3k)! (2k+1)! (3k+1-2k+1)! (4+1)^{k+1}}{(2k)! (3k-2k)! 4^{k} (3k+1)!}
[/mm]
von dort an weiß ich nicht wie ich weiterkommen soll. Ich wäre sehr dankbar für ein paar Tipps.
mfg IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 28.11.2004 | | Autor: | Jui |
Hallo!
Diese Aufgabe kommt mir doch sehr bekannt vor! Ich hoffe auf deinem Zettel steht auch nur, wie auf meinem, dass du nur bestimmen sollst ob diese Reihe konvergent oder divergent ist. Grenzwertbestimmung.... keine ahnung wie das gehen soll.
Also du vereinfachst deinen Megabruch, in dem du die Hälfte wegkürzt zB.
ergibt
> [mm]\bruch{(3k)!}{ (3k+1)!}
[/mm]
einfach nur noch den Bruch
> [mm]\bruch{(3k)!}{ (3k+1)}
[/mm]
da
> [mm]\bruch{(3k)!}{ (3k+1)!}
[/mm]
gleich
1 mal 2 mal 3...... mal 3k durch 1 mal 2 mal 3 mal ......3k mal 3k+1
folglich kürzt sich aus diesem Bruch das alles raus...
Wenn du das auch mit deinen anderen Fakültäten probierts dürfte das ganze schon viel freundlicher aussehen...
Außerdem kannst du noch bei vier hoch noch was mit einfachen Potenzregeln kürzen. Obwohl ich die Hochzahlen an deiner Stelle noch mal überprüfen würde...
und (3k-2k)! lässt sich vereinfachen als (k(3-2))!
ich hoffe ich konnte dir helfen.. bin hier noch neu deshalb, kenne ich mich mit dem Formeln und antwortsystemen noch nicht so aus
VLG
Julia
PS: Am Ende müsste das ganze gegen 0 konvergieren, also ist die Reihe divergent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 28.11.2004 | | Autor: | IKE |
ok, vielen Dank erstmal. Das bringt mich doch schon etwas weiter.
mfg IKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 28.11.2004 | | Autor: | frabi |
> Hallo!
>
> Diese Aufgabe kommt mir doch sehr bekannt vor! Ich hoffe
> auf deinem Zettel steht auch nur, wie auf meinem, dass du
> nur bestimmen sollst ob diese Reihe konvergent oder
> divergent ist. Grenzwertbestimmung.... keine ahnung wie das
> gehen soll.
>
> Also du vereinfachst deinen Megabruch, in dem du die Hälfte
> wegkürzt zB.
> ergibt
> > [mm]\bruch{(3k)!}{ (3k+1)!}
[/mm]
> einfach nur noch den
> Bruch
> > [mm]\bruch{(3k)!}{ (3k+1)}
[/mm]
Ich glaube eher
[mm]
\frac{(3k)!}{(3k+1)!}=\frac{(3k)!}{(3k)!(3k+1)}=\frac{1}{3k+1}
[/mm]
>
> und (3k-2k)! lässt sich vereinfachen als (k(3-2))!
>
oder auch einfach $k!$
viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Jui |
Ich weiß nicht genau welches Kriterium du angewendet hast, aber eigentlich müsste es doch das Quotienten kriterium gewesen sein... dann teilst du ja ak+1 durch ak wenn du das strickt anwendest erhälst du statt
> [mm]\bruch{(3k)! (2k+1)! (3k+1-2k+1)! (4+1)^{k+1}}{(2k)! (3k-2k)! 4^{k} (3k+1)!}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{(3(k+1)! (2k)! (k)! (4)^{-(k+1)}}{(2(k+1))! (k+1)! 4^{-k} (3k)!}
[/mm]
Oder wolltest du nicht Quotientenkriterium anwenden? Dann vergiss was ich gesagt habe.
Ansonsten geht es dann so weiter:
> [mm]\bruch{(3k)!(3k+1)(3k+2)(3k+3) (2k)! (k)! }}{(2k)!(2k+1)(2k+2) (k)!(k+1) 4 (3k)!}
[/mm]
Dann kann man wieder prima kürzen und hat alle seine Fakultäten weg und kommt am Ende darauf, dass der Bruch gegen
> [mm]\bruch{27 }}{16}
[/mm]
konvergiert für n gegen unendlich.
Somit wäre diese Reihe divergent.>
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