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| Aufgabe | Sei V=C[0,1] und für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] g_n\in [/mm] V definiert durch [mm] g_n(x)=x^n. [/mm] Untersuchen Sie für die Normen
[mm] \parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] und [mm] \parallel f\parallel_\infty [/mm] = [mm] \max_{x\in[0,1]}|f(x)| [/mm] auf V, ob [mm] (g_n) [/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich habe folgende Lösung:
[mm] \parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] =
[mm] \parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|x^n| dx} [/mm] =
[mm] [|\bruch{x^{n+1}}{n+1}|] [/mm] =
[mm] \bruch{1^{n+1}}{n+1}-0=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n+1} \le
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also konvergent.
[mm] \parallel f\parallel_\infty [/mm] = [mm] \max_{x\in[0,1]}|f(x)|= |1^n|=1, [/mm] da 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und [mm] n\in\IN. [/mm] D.h. umso kleiner der Wert x, umso kleiner ist der Wert von f(x).
Also konvergent.
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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> Sei V=C[0,1] und für [mm]n\in\IN[/mm] sei [mm]g_n\in[/mm] V definiert durch
> [mm]g_n(x)=x^n.[/mm] Untersuchen Sie für die Normen
> [mm]\parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm] und
> [mm]\parallel f\parallel_\infty[/mm] = [mm]\max_{x\in[0,1]}|f(x)|[/mm] auf V,
> ob [mm](g_n)[/mm] konvergiert.
> Hallo,
>
> ich habe folgende Lösung:
>
> [mm]\parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm] =
> [mm]\parallel f\parallel_1=\integral_{0}^{1}{|x^n| dx}[/mm] =
> [mm][|\bruch{x^{n+1}}{n+1}|][/mm] =
> [mm]\bruch{1^{n+1}}{n+1}-0=[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n+1} \le[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Ich verstehe nicht, was Dir dies bringt. Konvergenz heisst doch: Konvergenz gegen etwas. Welches ist also die (punktweise) Grenzfunktion der [mm] $g_n(x)$? [/mm] - Ich denke, es ist die Funktion
[mm]g(x) := \begin{cases} 0 & (\text{für }x\in [0;1[)\\
1 & (\text{für }x=1)
\end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist, nebenbei bemerkt, nicht in $C[0;1]$. Damit ist eigentlich Konvergenz der [mm] $g_n$ [/mm] gegen $g$ in $C[0;1]$ schon aus dem Fenster. Aber Du kannst natürlich auch versuchen, Konvergenz gegen eine andere als die punktweise Grenzfunktion, zum Beispiel gegen [mm] $g\equiv [/mm] 0$, zu zeigen. Dann musst Du die Frage untersuchen, ob [mm] $\parallel g_n-g\parallel_1\rightarrow [/mm] 0$ gilt, für [mm] $n\rightarrow \infty$. [/mm] Für diesen Nachweis kannst Du zwar grosse Teile der obigen Überlegung verwenden, aber dennoch ist Deine Überlegung kein Beweis der Konvergenz der [mm] $g_n$ [/mm] gegen [mm] $g\equiv [/mm] 0$ bezüglich der [mm] $\parallel \;\;\parallel_1$-Norm.
[/mm]
> Also konvergent.
>
>
> [mm]\parallel f\parallel_\infty[/mm] = [mm]\max_{x\in[0,1]}|f(x)|= |1^n|=1,[/mm]
> da 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und [mm]n\in\IN.[/mm] D.h. umso kleiner der Wert x,
> umso kleiner ist der Wert von f(x).
> Also konvergent.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Denn [mm] $\parallel g_n-g\parallel_{\infty}$ [/mm] konvergiert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] nicht gegen $0$. Es ist sogar [mm] $\parallel g_n-g\parallel_{\infty}=1$, [/mm] für alle $n$.
Des weiteren ist, wie erwähnt, nicht klar, welches denn die Grenzfunktion aus $C[0;1]$ sein soll, gegen die die [mm] $g_n$ [/mm] bezüglich der [mm] $\parallel\;\;\parallel_{\infty}$-Norm [/mm] konvergieren. Die punktweise Grenzfunktion $g$ kann es jedenfalls nicht sein und auch [mm] $g\equiv [/mm] 0$ liefert nicht das gewünschte Verhalten von [mm] $\parallel g_n-g\parallel_{\infty}\rightarrow [/mm] 0$, für [mm] $n\rightarrow \infty$.
[/mm]
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Hallo,
danke für deine Antwort! Du hast mir sehr weitergeholfen.
Liebe Grüße
sommer
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