Konvergente Folge reeller Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 10.11.2014 | | Autor: | unfaehik |
| Aufgabe | Es sei [mm] (b_n)_n_\in_\IN [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen [mm] b_n \not= [/mm] 0 mit Grenzwert
[mm] b\not= [/mm] 0. Zeigen Sie, dass die Folge ( [mm] \bruch{1}{b_n})_n_\in_\IN [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{b} [/mm] konvergiert. |
Ich bin grade stark verwirrt von den ganzen Konvergenten. Ich hab das Gefühl das man zu Aufgaben dieser Art unendlich viele unterschiedliche Möglichkeiten wissen muss um das zu lösen. Habe im Internet und in meinem Block ein wenig rumgestöbert und bekomme zu jeder Aufgabe einen anderen Lösungsweg. Fühl mich grade sogar leicht vereppelt von Analysis 1. Ich hab das Gefühl als ob nichts richtig bewiesen wird, es wird alles nur "gerade" gebogen damit alles passt.
Für solchen Fall haben wir noch nicht gemacht, wie würde man sowas lösen ?
Ich hab es mal bisschen probiert mit dem grade biegen und wollte wissen ob das so gehen würde.
[mm] |1/b_n [/mm] - 1/b| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] > 0
Sei 0 > [mm] 1/b_n [/mm] < [mm] 1/b_n_+_1 [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/b_n [/mm] = 1/b = 0
-> |0-0| < [mm] \varepsilon
[/mm]
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Hiho,
> Ich bin grade stark verwirrt von den ganzen Konvergenten.
> Ich hab das Gefühl das man zu Aufgaben dieser Art unendlich viele unterschiedliche Möglichkeiten wissen muss um das zu lösen.
Dann hast du wohl einiges nicht verstanden.
> Habe im Internet und in meinem Block ein wenig rumgestöbert und bekomme zu jeder Aufgabe einen anderen Lösungsweg. Fühl mich grade sogar leicht vereppelt von Analysis 1. Ich hab das Gefühl als ob nichts richtig bewiesen wird, es wird alles nur "gerade" gebogen damit alles passt.
Dann ist dir wohl leider nicht klar, wann man etwas bewiesen hat und wann nicht.
> Ich hab es mal bisschen probiert mit dem grade biegen und wollte wissen ob das so gehen würde.
>
> [mm]|1/b_n[/mm] - 1/b| < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0
Du hast irgendwas hingeschrieben, und ist dir überhaupt klar, warum du so etwas zeigen sollst um den Satz zu beweisen??
> Sei 0 > [mm]1/b_n[/mm] < [mm]1/b_n_+_1[/mm]
Warum sollte das gelten? Insbesondere schätzt du [mm] b_n [/mm] in zwei unterschiedliche Richtungen ab, das macht gar keinen Sinn. Da stehen aber zwei Ungleichungen:
1.) $0 > [mm] \bruch{1}{b_n}$
[/mm]
Ok, das können wir oBdA annehmen, aber du musst auch begründen, warum!
Was ist denn mit [mm] $b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - 5$, die ist sicher nie größer Null.
2.)$ [mm] \bruch{1}{b_n} <\bruch{1}{b_{n+1}}$
[/mm]
Warum sollte [mm] b_n [/mm] monoton fallend sein? Das muss gar nicht gelten, das ist also eine Fehlannahme.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1/b_n[/mm] = 1/b = 0
Hier verwendest du doch schon längst, was du beweisen sollst!
Du schreibst also nur den Satz nochmal hin, gezeigt hast du bisher nix.
Also von vorn: Du möchtest zeigen, dass du [mm] $\left|\bruch{1}{b_n} - \bruch{1}{b_{n+1}}\right|$ [/mm] kleiner als jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ bekommst für ausreichend große n.
Dazu: Was hast du in der 5. Klasse gelernt, wie man Brüche voneinander abzieht?
Dann kannst du (erstmal unter Verwendung von Annahme 1.) annehmen, dass für ausreichend große n und ausreichend kleines [mm] \delta>0 [/mm] gilt:
[mm] $\bruch{1}{b*b_n} \le \bruch{1}{b(b-\delta)}$
[/mm]
(Warum? Dafür wirst du wohl deine Voraussetzung brauchen)
Und dann: Verwende doch bitte den Formeleditor um deine Formeln geeignet darzustellen.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Zeige: es gibt ein c>0 und ein m [mm] \in \N [/mm] mit [mm] |b_n| \ge [/mm] c für alle n mit n [mm] \ge [/mm] m.
2. Zeige: für n [mm] \ge [/mm] m ist
[mm] |\bruch{1}{b_n}-\bruch{1}{b}| \le |b_n-b|*\bruch{1}{c*|b|}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 11.11.2014 | | Autor: | unfaehik |
Ich blick durch diesen mist echt nicht durch. Gehen wir ein bisschen zurück.
Ich soll zeigen das
[mm] 1/b_n [/mm] gegen 1/b konvergiert.
Das mach ich indem ich sage
| [mm] 1/b_n [/mm] - 1/b | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] > 0
Der Grenzwert ist b [mm] \not= [/mm] 0. Aber was heißt das ?
Heißt das das | [mm] 1/b_n [/mm] - 1/b | [mm] \not= [/mm] 0 ist ? Wenn ja dann ergibt das doch gar kein sinn.
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Hallo,
> Ich soll zeigen das
> [mm]1/b_n[/mm] gegen 1/b konvergiert.
>
> Das mach ich indem ich sage
>
> | [mm]1/b_n[/mm] - 1/b | < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0
Nein.
Wenn Du zeigen willst, daß die Folge [mm] (\bruch{1}{b_n}) [/mm] gegen [mm] (\bruch{1}{b}) [/mm] konvergiert, mußt Du zeigen, daß man
für jedes beliebige [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen (u.U. von [mm] \varepsilon [/mm] abhängigen) Schwellenwert N findet, so daß für alle natürlichen Zahlen n, die größer als N sind, gilt
[mm] |(\bruch{1}{b_n}) -(\bruch{1}{b}) |<\varepsilon.
[/mm]
> Der Grenzwert ist b [mm]\not=[/mm] 0. Aber was heißt das ?
Vorausgesetzt ist, daß die Folge [mm] (b_n) [/mm] gegen b [mm] (\not=0) [/mm] konvergiert.
Was das heißt, findet man mithilfe der Definition heraus:
für jedes beliebige [mm] \varepsilon'>0 [/mm] findet man einen (u.U. von [mm] \varepsilon' [/mm] abhängigen) Schwellenwert N', so daß für alle natürlichen Zahlen n, die größer als N' sind, gilt
[mm] |b_n-b|<\varepsilon'.
[/mm]
Das ist die Voraussetzung, unter der Du Deine Aussage beweisen mußt, das Material, mit dem Du etwas Schönes bauen darfst und welches Du sicher im Verlaufe des Beweises einsetzen mußt.
LG Angela
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> Heißt das das | [mm]1/b_n[/mm] - 1/b | [mm]\not=[/mm] 0 ist ? Wenn ja dann
> ergibt das doch gar kein sinn.
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