Konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 So 09.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] a_0\in[0,1] [/mm] und induktiv [mm] a_{n+1}:=sin(a_n) [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und geben Sie den Grenzwert an. |
Hi,
ich habe Probleme bei solch rekursiv definierten Folgen Rückschlüsse auf den Grenzwert zu ziehen. Oben mal eine Aufgabe, die mich beschäftigt.
Gibt es bei der Berechnung des Grenzwertes einer rekursiven Folge so eine Art "Rezept" für das richtige Vorgehen?
Würde mich freuen, wenn mir da jemand bei helfen könnte.
Danke
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 09.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo barsch!
Sieh' mal hier, da wurde eine rekursive Folge mit entsprechender Vorgehensweise sehr ausführlich diskutiert.
1.) Zeige: [mm] $a_n$ [/mm] ist beschränkt und monoton [mm] $\Rightarrow$ $a_n$ [/mm] ist konvergent
2.) Grenzwertberechnung über Ansatz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] .
Für Deine spezielle Aufgabe hier würde ich auf die Näherung durch Reihenentwicklung zurückgreifen: für das genannte Intervall $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[ \ 0 \ ; \ 1 \ \right]$ [/mm] kann die Sinusfunktion wie folgt ziemlich genau angenähert werden:
[mm] $$\sin(x) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] x-\bruch{x^3}{3!} [/mm] \ = \ [mm] x-\bruch{x^3}{6}$$
[/mm]
Als grobe Näherung käme man gar mit [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ x$ aus.
Hilft aber nicht für Monotonie- bzw. Grenzwertberechnung weiter!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 So 09.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
prinzipielles Vorgehen hat dir Loddar gezeigz.
hier: [mm] sinx\ge0 [/mm] für alle x aus dem Intervall, folgt an≥0
und sinx<1 ist klar.
also nach unten beschränkt, 2. sinx liegt immer unter seiner Tangente y=xim Nullpkt.
also [mm] a_(n+1)
sinx=x folgt x=0 Grenzwert.
Gruss leduart
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