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Forum "Folgen und Reihen" - Konver./Grenzwert Wurzelfolge
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Konver./Grenzwert Wurzelfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 01.12.2010
Autor: Angelnoir

Aufgabe
Untersuche ob die Folge (an) mit
[mm]a_n=\sqrt{n^2+n}-n[/mm] konvergent sind, ud berechne gegebenenfalls den Grenzwert


Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe mir überlegt die Konvergenz zu beweisen indem ich zeige, dass (an) eine Cauchy-Folge ist.
Also: [mm]\forall\varepsilon>0\exists N\in\IN\forall n,m \ge N : |an-am|<\varepsilon[/mm]
Leider bin ich dabei zu keinem Ergebnis bekommen, mache das zum ersten Mal. Meine Schritte bis jetzt:
[mm]|(\sqrt{n^2+n}-n)-(\sqrt{m^2+m}-m)|\le |-\sqrt{m^2+m}-m|+|\sqrt{n^2+n}-n|[/mm]
Und dann hörts auf. Ich könnte auch Monotonie und Beschränktheit beweisen.
Der Grenzwert ist 0,5, das weiß ich bereits. Jetzt wollte ich den Sandwichsatz anwenden.
[mm]0,5\le \sqrt{n^2+n}-n = \bruch{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \bruch{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n}[/mm]
Aber dann fält mir nix weiter ein, also eine Folge die auch 0,5 als Grenzwert hat und größer ist.
Für Tipps bin ich dankbar.
Liebe Güße Angelnoir

        
Bezug
Konver./Grenzwert Wurzelfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 01.12.2010
Autor: fred97


> Untersuche ob die Folge (an) mit
> [mm]a_n=\sqrt{n^2+n}-n[/mm] konvergent sind, ud berechne
> gegebenenfalls den Grenzwert
>  
> Hallo!
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich habe mir überlegt die Konvergenz zu beweisen indem ich
> zeige, dass (an) eine Cauchy-Folge ist.


Das wir mühsam ......


>  Also: [mm]\forall\varepsilon>0\exists N\in\IN\forall n,m \ge N : |an-am|<\varepsilon[/mm]
>  
> Leider bin ich dabei zu keinem Ergebnis bekommen, mache das
> zum ersten Mal. Meine Schritte bis jetzt:
>  [mm]|(\sqrt{n^2+n}-n)-(\sqrt{m^2+m}-m)|\le |-\sqrt{m^2+m}-m|+|\sqrt{n^2+n}-n|[/mm]
>  
> Und dann hörts auf. Ich könnte auch Monotonie und
> Beschränktheit beweisen.
>  Der Grenzwert ist 0,5, das weiß ich bereits. Jetzt wollte
> ich den Sandwichsatz anwenden.
>  [mm]0,5\le \sqrt{n^2+n}-n = \bruch{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \bruch{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n}[/mm]
>  
> Aber dann fält mir nix weiter ein, also eine Folge die
> auch 0,5 als Grenzwert hat und größer ist.
>  Für Tipps bin ich dankbar.


Du bist fast am Ziel.

              klammere im Zähler und im Nenner von  [mm] \bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n} [/mm]  jeweils n aus

FRED

>  Liebe Güße Angelnoir


Bezug
                
Bezug
Konver./Grenzwert Wurzelfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mi 01.12.2010
Autor: Angelnoir

Okay irgendwie hab ich Quatsch gemacht glaube ich.
[mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}}[/mm]


Bezug
                        
Bezug
Konver./Grenzwert Wurzelfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 01.12.2010
Autor: Gonozal_IX


> Okay irgendwie hab ich Quatsch gemacht glaube ich.
>  [mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}}[/mm]
>  

Nein, das passt schon.... du solltest nur konsequent weiter umformen:

[mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}} = \bruch{1}{\sqrt{\bruch{n^2 + n}{n^2}} + 1} = \bruch{1}{\sqrt{1 + \bruch{1}{n}} + 1}[/mm]

Siehst dus jetzt?

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Konver./Grenzwert Wurzelfolge: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Mi 01.12.2010
Autor: Angelnoir

Ja jetzt seh ichs... Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse:
[mm]\bruch{1}{n} \to 0[/mm]
[mm]\bruch{1}{\sqrt{1 + \bruch{1}{n}} + 1}\to \bruch{1}{2}[/mm]

Super!
Ich danke euch allen.


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