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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 Fr 15.07.2016 | | Autor: | Karel20 |
Hallo,
Ich habe ein problem den Integral,
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(1+x)\wurzel[3]{(x^2(1-x))}} dx}
[/mm]
zu berechnen mit eine komplexe kontur-integration.
Ich weiss nicht gut welche Kontur an zu wenden fur diese aufgabe.
Können Sie mir bitte helfen?
Vielen Dank!!
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Mit der Substitution [mm]x = 1 - \frac{2}{t^3+2} = \frac{t^3}{t^3+2}[/mm] kannst du den Integranden rational machen:
[mm]\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(1+x) \sqrt[3]{x^2 (1-x)}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3+1}[/mm]
Das verbleibende Integral kannst du reell oder komplex weiterbehandeln. Im Komplexen kannst du für [mm]R>1[/mm] und [mm]\omega = \operatorname{e^{\frac{\operatorname{i} \pi}{3}}[/mm] den Integrationsweg [mm]\gamma_R[/mm] verwenden, der sich aus den folgenden drei Stücken zusammensetzt: laufe auf der Strecke von [mm]0[/mm] bis [mm]R[/mm], dann dem Kreisbogen um [mm]0[/mm] von [mm]R[/mm] bis [mm]R \omega^2[/mm] gegen den Uhrzeigersinn und schließlich der Strecke von [mm]R \omega^2[/mm] bis [mm]0[/mm]. Die einzige Singularität im Innern des Weges ist [mm]\omega[/mm].
Wie man das Integral ohne reelle Substitution direkt durch ein komplexes Kurvenintegral berechnen könnte, übersehe ich nicht.
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