Konstruktion mit Zirk. u. Lin. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Di 11.01.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Wenn ich eine konstruierbare Zahl [mm] \alpha\in\overline{\IQ} [/mm] gefunden habe, so gilt ja zwangsläufig [mm] [\IQ(\alpha):\IQ]=2^n [/mm] für gewisses [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Die Umkehrung, dass man alle algebraischen Zahlen vom Grad [mm] 2^n [/mm] konstruieren kann, gilt ja nicht.
Kennt ihr dafür ein paar Beispiele?
Wäre super :)
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 Di 11.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich eine konstruierbare Zahl [mm]\alpha\in\overline{\IQ}[/mm]
> gefunden habe, so gilt ja zwangsläufig
> [mm][\IQ(\alpha):\IQ]=2^n[/mm] für gewisses [mm]n\in\IN_0.[/mm]
>
> Die Umkehrung, dass man alle algebraischen Zahlen vom Grad
> [mm]2^n[/mm] konstruieren kann, gilt ja nicht.
> Kennt ihr dafür ein paar Beispiele?
Ich kenne es nicht direkt, aber in einer Vorlesungsmitschrift habe ich stehen: im Buch "Galois Theory" von J. Rotman auf Seite 90 soll eine Bemerkung stehen mit einem solchen Beispiel.
Ich hab das Buch bei google books gefunden, sogar die Seite, allerdings ist das Buch dort verkrueppelt (da hat jemand beim Scannen ziemlichen Mist gebaut). Ich versuche das mal zu konstruieren:
Sei $p = [mm] x^4 [/mm] - 4 x + 2 [mm] \in \IQ[x]$. [/mm] Das ist irreduzibel, und der Zerfaellungskoerper $K$ von $p$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat Galoisgruppe [mm] $S_4$.
[/mm]
Angenommen, eine Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] von $p$ sei konstruierbar. In dem Fall waeren alle Elemente in $K$ konstruierbar, da $K$ der von [mm] $\sigma(\IQ(\alpha))$, $\sigma \in Gal(K/\IQ)$ [/mm] erzeugte Koerper ist und da die konstruierbaren Elemente in [mm] $\IC$ [/mm] einen Unterkoerper bilden.
Sei $U$ eine 2-Sylow-Untergruppe von [mm] $Gal(K/\IQ) \cong S_4$. [/mm] Dann ist $[G : H] = 3$. Damit hat der Fixkoerper [mm] $K^U$ [/mm] von $U$ Grad 3 ueber [mm] $\IQ$, [/mm] womit kein Element aus [mm] $K^U \setminus \IQ$ [/mm] konstruierbar ist. Das ist ein Widerspruch dazu, dass alle Elemente aus $K$ konstruierbar ist, was aus der Annahme folgte, dass [mm] $\alpha$ [/mm] konstruierbar war.
Also ist [mm] $\alpha$ [/mm] nicht konstruierbar, obwohl [mm] $[\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \deg [/mm] p = 4 = [mm] 2^2$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Do 13.01.2011 | | Autor: | Harris |
Ey super!
Danke! :)
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