Konstruktion mit Lineal < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 16.04.2008 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Sei M={0,1,i,1+i,z} mit z [mm] \not\in {0,1,i,1+i,z,\bruch{1}{2}(1+i)}. [/mm] Sei M' die Menge aller aus M nur mit dem Lineal konstruierbaren Punkte. Die erlaubten Operationen sind dabei die Konstruktion von Geraden durch zwei bereits konstruierte Punkte und der Schnitt zweier bereits konstruierter Geraden. Zeigen Sie:
Mit dem Lineal ist die folgenden Konstruktion durchführbar:
Konstruktion der Parallelen zu einer der Koordinatenachsen durch einen Punkt. |
Hallo und guten Abend!
Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?! Zumindest einen Ansatz... ich weiß, dass Fallunterscheidungen nötig sind: Fall 1: der gegebene Punkt liegt im 1. Quadranten, Fall 2: der gegebene Punkt liegt im 2. Quadranten... analog Fall 3 und Fall 4.
Ich weiß auch, dass es eine gewaltige Tüftlerei ist und man das durch Rumprobieren rausfinden kann...
Vielen Dank für jeden Mini-Hinweis! 
Julia
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 01:04 Do 17.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Fall 1: der gegebene Punkt liegt im 1. Quadranten, Fall 2: der gegebene Punkt liegt im 2. Quadranten... analog Fall 3 und Fall 4.
Da man die Problemstellung aus den 2., 3. und 4. Quadranten durch Drehung und Verschiebung in ein Problem im 1. Quadranten transformieren kann, reicht es eine Lösung im 1. Quadranten zu finden und diese dann wieder in den jeweiligen Q. zurück zu drehen/schieben.
Somit [mm] Im(P)\ge0 [/mm] , [mm] Re(P)\ge0 [/mm] für den gegebenen Punkt P.
Wenn nun z schon auf der Parallelen zur Koordinatenachse durch P liegt, so läßt sich bei geschickter Wahl einweiterer Punkt dieser Paralellen konstruieren. Womit man dann die Gerade erhält.
Verschiebe z mal etwas hin und her und schau was du an neuen Geraden bzw. Schnittpkts. erhälst.
> z $ [mm] \not\in {0,1,i,1+i,z,\bruch{1}{2}(1+i)}. [/mm] $
[mm] z\not\in \{...,z,...\} [/mm] , Hä ?
Copy-Paste-Fehler, oder ?
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
also z liegt auf keiner Parallelen, und einen Punkt P gibt es nicht... ich kann nicht wirklich was mit deinem Hinweis anfangen. ??
LG und ciao
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:38 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
irgendwie haben wir uns missverstanden, hab alles noch mal neu formuliert, steht bereits im Forum unter Korrektur und Hinweis...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Do 17.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Ok.
> Konstruktion der Parallelen zu einer der Koordinatenachsen durch einen Punkt.
Ich hatte das so verstanden, dass es einen bestimmten Punkt (den habe ich P genannt) gibt durch den eine Gerade gezeichnet werden soll.
Da z nicht festgelegt ist, dachte ich man darf es frei wählen. ( bis auf [mm] 0,1,i,1+i,\bruch{1}{2}(1+i) [/mm] )
So wie es unten zu sehen ist, soll also z der Punkt sein durch den die Gerade geht ?
Tja, dann hab ich wohl meine eigene Aufgabenstellung gefunden. Und natürlich erfolgreich gelöst.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
Guten Morgen und schon mal Danke für die Mühe!
Vorerst: ich wollte eigentlich eine Vorschau und hab's aus Versehen weggeschickt, deshalb der Tippfehler, den ich nicht mehr ausbessern konnte. Hätte wohl besser gleich noch eine Korrektur hinterhergeschickt, aber muss mich erst in dieses Forum eingewöhnen, war schon länger nicht mehr hier.
Es sollte heißen: z [mm] \not\in {0,1,i,1+i,\bruch{1}{2}(1+i)}. [/mm] Und durch dieses z sollte die Parallele zu einer Achse konstruiert werden, wobei mir eben zu Beginn nur die Punkte 0, 1, 1+i und i zur Verfügung stehen. Neue Punkte kann ich dann z.B. konstruieren, indem ich die Gerade durch 0 und 1 zeichne (entspricht dann eben der x-Achse, analog y-Achse). Dann die Gerade durch z und i oder i+1; der Schnitt dieser Geraden mit der x-Achse liefert dann wieder einen Punkt, den ich zum Konstruieren verwenden darf.
Ich habe mitlerweile herausgefunden, dass ich folgendes verwenden darf bzw. verwenden muss:
Sei ABC beliebiges Dreieck, D sei der Streckenmittelpunkt von [AB]. Verbinde D mit C. Dann zeichne Gerade durch B, die [CD] in G und [AC] in E schneidet. Gerade durch A und G schneidet BC in F. Dann ist EF parallel zu AB.
Ist eine genau dann wenn Beziehung: Genau dann wenn D AB in der Mitte teilt, sind AB und EF parallel
Vielleicht kann jemand was damit anfangen...?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 17.04.2008 | | Autor: | weduwe |
> wie vorhin
> Guten Morgen und schon mal Danke für die Mühe!
>
> Vorerst: ich wollte eigentlich eine Vorschau und hab's aus
> Versehen weggeschickt, deshalb der Tippfehler, den ich
> nicht mehr ausbessern konnte. Hätte wohl besser gleich noch
> eine Korrektur hinterhergeschickt, aber muss mich erst in
> dieses Forum eingewöhnen, war schon länger nicht mehr
> hier.
>
> Es sollte heißen: z [mm]\not\in {0,1,i,1+i,\bruch{1}{2}(1+i)}.[/mm]
> Und durch dieses z sollte die Parallele zu einer Achse
> konstruiert werden, wobei mir eben zu Beginn nur die Punkte
> 0, 1, 1+i und i zur Verfügung stehen. Neue Punkte kann ich
> dann z.B. konstruieren, indem ich die Gerade durch 0 und 1
> zeichne (entspricht dann eben der x-Achse, analog y-Achse).
> Dann die Gerade durch z und i oder i+1; der Schnitt dieser
> Geraden mit der x-Achse liefert dann wieder einen Punkt,
> den ich zum Konstruieren verwenden darf.
>
> Ich habe mitlerweile herausgefunden, dass ich folgendes
> verwenden darf bzw. verwenden muss:
> Sei ABC beliebiges Dreieck, D sei der Streckenmittelpunkt
> von [AB]. Verbinde D mit C. Dann zeichne Gerade durch B,
> die [CD] in G und [AC] in E schneidet. Gerade durch A und G
> schneidet BC in F. Dann ist EF parallel zu AB.
> Ist eine genau dann wenn Beziehung: Genau dann wenn D AB
> in der Mitte teilt, sind AB und EF parallel
>
> Vielleicht kann jemand was damit anfangen...?
>
> Liebe Grüße
ja damit kann ich etwas anfangen
faul wie ich bin, stell ich es mal rein - ohne beweis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Die Zeichnung "Ohne Worte" ist zwar schön.
Aber es wäre meines Erachtens sehr hilfreich, wenn man an die einzelnen Punkte und Geraden Zahlen schreiben würde, in welcher Reihenfolge diese konstruiert wurden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Do 17.04.2008 | | Autor: | weduwe |
> Die Zeichnung "Ohne Worte" ist zwar schön.
>
> Aber es wäre meines Erachtens sehr hilfreich, wenn man an
> die einzelnen Punkte und Geraden Zahlen schreiben würde, in
> welcher Reihenfolge diese konstruiert wurden.
zunächst ist es ja für julia gemalt, und vielleicht will sie das ja selber herausfinden.
an und für sich steht ja alles wesentliche in dem "dreieckstip" und in dem "hinweis"
[mm]z\neq \frac{1}{2}(1+i)[/mm]
ansonsten hole ich das gerne nach
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
Hallo!
Das mit der Reihenfolge kann man schon rausfinden, da ja zu Beginn nur insgesamt 4 Punkte und z zur Verfügung stehen und man somit nur ein paar Linien zeichnen kann, bzw. einige eben erst, nachdem ein paar Punkte dazu konstruiert worden sind.
Aber danke für die netten Worte, die du für mich eingelegt hast!
Schönen Tag noch...
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
ahh.... allmählich klingelt's. Ich hab's zwar noch nicht hingekriegt, wie ich das mache, wenn z in den anderen Quadranten bzw. außerhalb von dem Quadrat, das durch 0, 1, 1+i und i aufgespannt ist, liegt, aber daran tüftel ich noch a bisserl
Vielen Dank, hast mir sehr weitergeholfen!
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Do 17.04.2008 | | Autor: | weduwe |
> ahh.... allmählich klingelt's. Ich hab's zwar noch nicht
> hingekriegt, wie ich das mache, wenn z in den anderen
> Quadranten bzw. außerhalb von dem Quadrat, das durch 0, 1,
> 1+i und i aufgespannt ist, liegt, aber daran tüftel ich
> noch a bisserl
>
> Vielen Dank, hast mir sehr weitergeholfen!
> Julia
ich weiß zwar nicht, wozu du das machen willst.
hast du die konstruktion wirklich verstanden?
ich stelle es nun auch mit numerierung rein
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[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 17.04.2008 | | Autor: | weduwe |
und da ist das , was man wirklich und für alle quadranten braucht
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Do 17.04.2008 | | Autor: | julia.k |
Das ist natürlich toll von dir... vielen Dank!
Ich hatte die erste Lösung durchaus verstanden; ich konnte das Ganze nachvollziehen. Verwendet wurde ein Dreieck wie bei meiner Korrektur beschrieben.
Allerdings habe ich heute nicht mehr den Kopf dazu, mir deine kompletten Lösungen durchzusehen. Aber ich muss bis Montag mein Übungsblatt abgeben (das war eine Aufgabe davon), also werd ich's mir am Wochenende noch genau durchsehen. Ist echt nett von dir, mir so eine ausführliche Lösung zu präsentieren!
Ciao
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