Konstruktion eines Dreiecks < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 27.12.2009 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | Konstruiere ein Dreieck aus c, alpha, a minus b |
Ich weiss, wie man das ähnliche Problem löst, wenn statt a minus b a plus b gegeben ist. Ich lege alpha an c an, trage auf dem freien Schenkel a plus b ab, konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck vom Endpunkt aus, den ich mit dem Endpunkt B von c verbinde. Der eine Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks ist a, seine Spitze C.
Doch wie muss ich vorgehen, wenn a minus b gegeben ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gr5959,
diese spannende Aufgabe habe ich bisher in keinem Schulbuch gesehen. Du scheinst wieder ein älteres Exemplar vorliegen zu haben. 
1) Sei a-b>0:
Zeichne c, so dass A links und B rechts liegt.
Zeichne die Gerade [mm] g_b, [/mm] die durch A verläuft und mit c den Winkel [mm] \alpha [/mm] einschließt. Nach Konvention liegt [mm] \alpha [/mm] nun oberhalb von c.
Trage die Strecke a-b, von A ausgehend, auf dieser Geraden ab. Den so gefundenen Punkt nennen wir C'.
Verbinde C' durch eine gerade Linie mit B. Die Strecke [mm] \overline{BC'} [/mm] nennen wir a'.
Errichte die Mittelsenkrechte auf a'. Ihr Schnittpunkt mit [mm] g_b [/mm] ist der gesuchte Eckpunkt C.
2) Sei a-b<0, also b-a>0:
Zeichne c, so dass A links und B rechts liegt.
Zeichne die Gerade [mm] g_b, [/mm] die durch A verläuft und mit c den Winkel [mm] \alpha [/mm] einschließt. Nach Konvention liegt [mm] \alpha [/mm] nun oberhalb von c.
Schlage einen Kreis mit dem Radius b-a um B.
Es gibt nun 3 Möglichkeiten:
2.1) Der Kreis schneidet [mm] g_b [/mm] nicht.
Es gibt keine Lösung.
2.2) Der Kreis berührt [mm] g_b [/mm] in genau einem Punkt. Nennen wir diesen Punkt wieder C', die Strecke [mm] \overline{AC'} [/mm] nun b' und die Strecke [mm] \overline{BC'} [/mm] entsprechend a'.
Verlängere die Strecke a' zu einer Geraden, die wir [mm] g_a [/mm] nennen.
Errichte die Mittelsenkrechte auf b'. Ihr Schnittpunkt mit [mm] g_a [/mm] ist der gesuchte Eckpunkt C.
2.3) Der Kreis schneidet [mm] g_b [/mm] in zwei Punkten. Das Dreieck ist dann nicht eindeutig bestimmt.
Die beiden möglichen Dreiecke sind entsprechend der Lösung 2.2 zu konstruieren.
Übrigens ließe sich eine noch schwierigere Aufgabe erstellen, wenn man sich die Besonderheit der zweiten Lösung zu eigen macht:
Gegeben seien c und [mm] \alpha. [/mm] Weiter sei bekannt, dass b>a ist und damit das Dreieck eindeutig bestimmt sei. Konstruieren Sie dieses Dreieck.
Herzliche Grüße und weiter viel Erfolg beim Durcharbeiten Deiner mathematischen Unterlagen!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 28.12.2009 | | Autor: | gr5959 |
Vielen Dank! Alles klar--blitzartig! Die Aufgabe stammt in der Tat aus meinem eigenen Schulbuch, dem ersten Mathe-Lehrwerk, das nach dem Krieg in niedersächsischen Schulen verwendet wurde: v. Hanxleden-Hentze, Mathematik für höhere Lehranstalten, Mittelstufe: Geometrie, Verlag Vieweg Braunschweig, 1948 u.ö. G.R.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 28.12.2009 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | Noch einmal zur Konstruktion eines Dreiecks aus c, alpha, a-b |
Die beiden Konstruktionen leuchten sofort ein. Doch Konstruktion 1, so meine ich, ist dann anzuwenden, wenn b die grössere Seite ist, also wenn b-a>0. Dagegen funktioniert Konstruktion 2, wenn a die grössere Seite ist, also wenn a-b>0. Es müsste also umgekehrt sein, wie du es dargestellt hast. Oder sehe ich das falsch? Mit freundlichem Gruss G.R.
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Guten Abend!
Das stimmt: ich habe mich vertan, die Konstruktionen gelten im jeweils genau umgekehrten Fall.
Übrigens habe ich mir noch gar keine Gedanken dazu gemacht, ob die Konstruktionen auch für alle möglichen [mm] \alpha [/mm] gelten, also insbesondere auch für [mm] 90°<\alpha<180°.
[/mm]
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 01.01.2010 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | Dreieck aus alpha, c, a-b bzw. b-a |
Zu dem neuen Problem, das du aufgeworfen hast, nämlich ob die Konstruktionen für alle möglichen alpha gelten, die folgenden Überlegungen und eine Frage.
Ist a<b, so ist b minus a auf dem freien Schenkel von α abzutragen.
Ist a>b, so ist mit a minus b ein Kreis um B zu schlagen. Dabei kann es gar keine, eine oder zwei Lösungen geben.
Ist a = b, handelt es sich also um ein gleichschenkliges Dreieck, ist die Mittelsenkrechte auf c zu errichten; der Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von α ist C.
Ist der gegebene Winkel α > 90º, so ist er immer grösser als β. Weil dem grösseren Winkel die grössere Seite gegenüberliegt, ist dann a immer grösser als b.
Ist der gegebene Winkel α = 90°, ist a Hypotenuse, folglich grösser als b. Allerdings kann es hier nur dann eine Lösung geben, wenn a minus b grösser als c ist. Ist das nicht der Fall, so schneidet der Kreis mit a minus b um B nicht den freien Schenkel von α.
Ist der gegebene Winkel α < 90º, kann a oder b die grössere Seite sein. Die Entscheidung hängt ab von der Grösse von β, denn dem grösseren Winkel liegt die grössere Seite gegenüber. β ist wiederum eine Funktion der Grössen von c und b minus a bzw. a minus b.
Frage: Wie findet man den Punkt, an dem b grösser als a wird, d.h. an dem β grösser als α wird?
Und sind die vorangegangenen Überlegungen überhaupt richtig?
Und dankeschön, dass du meinem Problem deine Zeit widmest! G.R.
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Guten Abend, G.R., und ein frohes neues Jahr!
Ich schreibe meine Kommentare, und mit Glück auch Antworten, einmal direkt in Deinen Text hinein:
> Dreieck aus alpha, c, a-b bzw. b-a
> Zu dem neuen Problem, das du aufgeworfen hast, nämlich ob
> die Konstruktionen für alle möglichen alpha gelten, die
> folgenden Überlegungen und eine Frage.
>
> Ist a<b, so ist b minus a auf dem freien Schenkel von α
> abzutragen.
> Ist a>b, so ist mit a minus b ein Kreis um B zu schlagen.
> Dabei kann es gar keine, eine oder zwei Lösungen geben.
Soweit die bisherige Lösung, die bestimmt für [mm] \alpha<90° [/mm] gilt. Schauen wir mal, ob das auch schon alles ist...
> Ist a = b, handelt es sich also um ein gleichschenkliges
> Dreieck, ist die Mittelsenkrechte auf c zu errichten; der
> Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von α ist C.
Diesen Fall habe ich gar nicht berücksichtigt. Das ist ohne Zweifel die einzig richtige Lösung für a-b=0.
> Ist der gegebene Winkel α > 90º, so ist er immer grösser
> als β. Weil dem grösseren Winkel die grössere Seite
> gegenüberliegt, ist dann a immer grösser als b.
Ja, richtig. Damit funktioniert die bisherige Lösung aber nicht mehr unverändert. Der Schnittpunkt bzw. die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden, auf der a liegen muss, liegen sozusagen auf der falschen Seite, also unterhalb von c. Was heißt das für die Konstruktion?
> Ist der gegebene Winkel α = 90°, ist a Hypotenuse,
> folglich grösser als b. Allerdings kann es hier nur dann
> eine Lösung geben, wenn a minus b grösser als c ist. Ist
> das nicht der Fall, so schneidet der Kreis mit a minus b um
> B nicht den freien Schenkel von α.
Das ist nie der Fall. In jedem Dreieck gilt, dass die Summe zweier Seitenlängen größer als die dritte Seitenlänge ist. Im Falle von Gleichheit ist das Dreieck entartet, die Seiten liegen alle auf einer Geraden, und seine Fläche ist Null.
Es müsste also erfüllt sein a-b>c [mm] \gdw [/mm] a>b+c, und das widerspricht b+c>a.
Da aber ganz offenbar Dreiecke existieren mit [mm] \alpha=90° [/mm] und [mm] a-b\blue{<}c, [/mm] stimmt auch hier die Konstruktionsvorschrift noch nicht.
> Ist der gegebene Winkel α < 90º, kann a oder b die
> grössere Seite sein. Die Entscheidung hängt ab von der
> Grösse von β, denn dem grösseren Winkel liegt die
> grössere Seite gegenüber. β ist wiederum eine Funktion
> der Grössen von c und b minus a bzw. a minus b.
Ja. Das wäre auch trigonometrisch zu bestimmen. Hier geht es aber um eine klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal, da ist der Funktionsbegriff nicht hilfreich. Jedenfalls hängt [mm] \beta [/mm] (was man hier übrigens einfach \beta schreibt) genau von den drei gegebenen Größen [mm] \alpha, [/mm] c und (b-a) ab. Ich nehme an, dass Du nichts anderes meintest.
> Frage: Wie findet man den Punkt, an dem b grösser als a
> wird, d.h. an dem β grösser als α wird?
Das ist zwar die einzige angekündigte Frage, aber unter den implizit enthaltenen die einzige leichte. Der Punkt liegt auf der Mittelsenkrechten, die man auf c errichtet. Der Schnittpunkt des freien Schenkels von [mm] \alpha [/mm] (übrigens eine gut gewählte Beschreibung!) mit dieser Mittelsenkrechten ist ja der Punkt S, an dem a und b gleich sind. Liegt C auf der Strecke [mm] \overline{BS}, [/mm] so ist a>b und [mm] \alpha>\beta. [/mm] Liegt C jenseits von S, so gilt das umgekehrte Größenverhältnis.
> Und sind die vorangegangenen Überlegungen überhaupt
> richtig?
Ja. Ich habe nur versucht, Deine Überlegungen etwas weiter zu führen. Deine Herangehensweise ist sehr gut und in meinen Augen damit mathematisch korrekt. Eine Lösung muss alle Fälle erfassen, notfalls eben mit Fallunterscheidungen, und mein Vorschlag war eben nicht vollständig. Soweit ich sehe, nähern wir uns aber einer richtigen Lösung.
> Und dankeschön, dass du meinem Problem deine Zeit widmest!
> G.R.
Das geschieht sehr gern. Ich habe noch etwa zwanzig Jahre bis zum Ruhestand vor mir, bin aber immer noch auf der Suche nach Wissen. Das verbindet uns. Diese Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, was man eigentlich schon in der Mittelstufe hätte lösen können müssen (nebenbei: ein seltenes Beispiel für einen Vier-Verb-Ausdruck) und dann doch nur mit Mühe bewältigt. Gerade das gefällt mir an ihr. So einfach die Aufgabenstellung daher kommt, so umfangreich wird die Lösung sein müssen. Dennoch ist sie ja vollständig mit den Werkzeugen der entsprechenden Klassenstufe (damals wahrscheinlich die Obertertia) zu bearbeiten.
Ich bewundere Deinen Vorsatz, nach all den Jahren noch einmal die Schulbücher durchzuarbeiten. Vielleicht werde ich das einst nachahmen, auch wenn mir dazu recht viele Bücher fehlen. Womöglich befinden sie sich noch auf dem Dachboden meiner Eltern, wer weiß. Andernfalls müsste ich mich einmal auf die antiquarische Suche begeben. Bei mir ist es nicht die Mathematik, sicher aber die Biologie, die ich sträflich vernachlässigt habe. Andere Fächer, in denen ich nach dem Abitur erkennbare und z.T. erhebliche Defizite hatte, habe ich seitdem zumindest überblicksweise aufarbeiten können, ohne dass ich je den Eindruck gehabt hätte, genug gelernt zu haben.
Ein letztes und ganz anderes Thema: mir ist es mit meinen nun 46 Jahren anfangs schwer gefallen, in Internetforen einfach drauflos zu duzen. Mittlerweile habe ich mich daran gewöhnt. Auch in diesem Forum wird ganz ausnahmslos geduzt. Dennoch können wir das natürlich anders halten. In meinem Beruf (den der einfallslose Benutzername direkt preisgibt) ist wohl beides üblich - unter den Hauptamtlichen und auch unter den Engagierten ist man oft per Du, aber im allgemeinen und in jeglicher Öffentlichkeit wird gesiezt.
Aus das habe ich hier wohl noch nie geschrieben:
Hochachtungsvoll,
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:19 So 10.01.2010 | | Autor: | gr5959 |
Um mir die Zusammenhänge besser vor Augen führen zu können, setze ich für a minus b und c feste Werte an, verändere nur alpha. Also b minus a = 2, c = 4.
Bei alpha zwischen 0º und 60º (die beiden Grenzwerte ausgeschlossen) kann ich das Dreieck ohne weiteres konstruieren. b ist in diesem Bereich immer grösser als a.
Bei alpha zwischen 60º und 180º dagegen wird a immer grösser als b sein (bei c = 4 als fester Grösse). Deshalb ergibt die Konstruktion (1) (also das Abtragen von b minus a auf dem freien Schenkel von alpha) in diesem Bereich keine Lösung mehr.
Frage 1: Ist das so weit richtig?
Die Konstruktion (2) (Kreis mit a minus b um B), so wie du sie vorgeschlagen hast, scheint mir keine Lösung zu sein. Ich habe sie folgendermassen verstanden. Wähle ich einen Winkel von maximal 30º und schlage den Kreis mit a minus b um B, so bekomme ich zwei Schnittpunkte oder (bei 30º) einen Berührungspunkt C'. Ich verbinde B mit C' und bekomme so die Strecke a', verbinde A mit C' und bekomme die Strecke b'. Ich errichte die Mittelsenkrechte auf b'. Deren Schnittpunkt mit der Verlängerung von a' soll der gesuchte Punkt C sein.
Der Haken aber ist, dass das auf diese Weise konstruierte Dreieck ABC einen anderen Winkel alpha hat als den gegebenen. Dieser gegebene Winkel hat in dieser Konstruktion die Schenkel AB und AC'; der Winkel in deiner Lösung ist aber grösser als alpha und hat die Schenkel AB und AC.
2. Frage: Habe ich hier etwas missverstanden?
3. Frage: Was kann ich überhaupt mit dem zweiten Schnittpunkt C'' des Kreises mit a minus b um B mit dem freien Schenkel von alpha anfangen? Die Verlängerung BC'' über C'' hinaus kann die Mittelsenkrechte auf b' nie schneiden.
"Es ist alles viel komplizierter" — der Philosoph Ludwig (nicht Herbert) Marcuse hatte diesen Spruch über seinem Schreibtisch hängen. Ich bin versucht, ihn als Titel über dieses Problem zu setzen — um so mehr, wenn ich daran denke, dass man ja auch erwägen müsste, wie bei anderen Werten für a minus b, b minus a und c zu konstruieren sei.
Ist meine »private Mitteilung« über das Forum nicht bei dir angekommen?
In der Hoffnung, dass wir mit diesem Problem zusammen weiterkommen, grüsst dich herzlich G.R.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 25.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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