Konstruktion Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 06.04.2010 | | Autor: | lok |
| Aufgabe | | Geben Sie zu jedem r [mm] \in [0,\infty) [/mm] vereinigt mit [mm] {\infty} [/mm] eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} an(z-z0)^{n}, [/mm] an sei Element der komplexen Zahlen, mit Konvergenzradius r an. |
Guten Abend im Matheforum ;)
ich habe da diese Aufgabe gestellt bekommen bei der ich nicht so wirklich weiß wie ich rangehen könnte, wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
danke im Vorraus,
lg lok
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 06.04.2010 | | Autor: | rrgg |
Servus!
Les dir mal des durch! http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe
Da gibts auch zwei Formeln mit denen man den Konvergenzradius berechnen kann! Des würd ich mal gleich r setzen und mir überlegen wie ich dann die [mm] a_n [/mm] wählen muss.
Für Potenzreihen mit Konvergenzradius unendlich gibts relativ bekannte Beispiele; man kann sich aber auch einfach irgendwelche trivialen überlegen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mi 07.04.2010 | | Autor: | lok |
ok, dankeschön ;)
ich glaube ich habe etwas. Könnte dies hier eine richtige Lösung sein?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1!)} [/mm] -1 [mm] z_{n}
[/mm]
was haltet ihr davon?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:46 Sa 10.04.2010 | | Autor: | lok |
| Aufgabe | | Es sei zu jedem r aus dem Intervall [mm] [0,\infty) [/mm] vereinigt mit [mm] \infty [/mm] eine Potenzreihe folgender Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty} an(z-z0)^{n} [/mm] mit Konvergenzradius r anzugeben. |
Hey,
Als Lösung habe ich das anzubieten, bin mir allerdings nicht sicher, was haltet ihr davon?
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1!)} [/mm] $ -1 $ [mm] z_{n} [/mm] $
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lok!
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1!)}[/mm] -1 [mm]z_{n}[/mm]
Zum einen: fehlen da nicht ein paar Klammern?
Zum anderen: für welches r soll denn dieser Vorschlag nun sein?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 10.04.2010 | | Autor: | lok |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}( \bruch{1}{(n+1!)} [/mm] -1) [mm] z_{n} [/mm]
ich dächte eigentlich, dass ich mit dieser Gleichung alle r´s erwische (für unterschiedliche n)?
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Hallo!
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}( \bruch{1}{(n+1!)}[/mm] -1) [mm]z_{n}[/mm]
>
> ich dächte eigentlich, dass ich mit dieser Gleichung alle
> r´s erwische (für unterschiedliche n)?
Nein.
Es gibt bei dieser Formel keine "verschiedenen" n, denn die Laufvariable der Summe ist doch n !
Vermutlich (ich habe es nicht nachgerechnet) konvergiert deine Reihe mit Konvergenzradius $r = 1$, weil dein [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{(n+1)!}-1\right)$ [/mm] ja gegen -1 konvergiert.
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Beginne die Aufgabe doch lieber so:
1. Reihe mit Konvergenzradius r=0.
Formel von Cauchy-Hadamard: $r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}$.
[/mm]
r wird Null, wenn der Nenner unendlich wird. Du musst also eine Folge [mm] $a_{n}$ [/mm] finden, für die [mm] $\sqrt[n]{|a_{n}|}$ [/mm] gegen unendlich konvergiert. Einfachsterweise könnte das [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] n^{n}$ [/mm] sein.
Wie lautet dann deine Potenzreihe?
2. Reihe mit Konvergenzradius [mm] $r=\infty$.
[/mm]
Sicher habt ihr da schon mindestens eine Reihe kennengelernt, zum Beispiel
[mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$.
[/mm]
Ansonsten wieder Formel benutzen und überlegen, wie ein [mm] $a_{n}$ [/mm] auszusehen hat, damit der Nenner 0 wird!
3. Reihe mit Konvergenzradius $0 < r < [mm] \infty$.
[/mm]
Benutze hier wieder die Formel von Cauchy-Hadamard:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}$.
[/mm]
Natürlich müssen wir jetzt systematisch eine Folge finden, die wir auf alles anwenden können, denn wir wollen ja nicht für jedes r ein Beispiel geben...
Benutze den Ansatz [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] c^{n}$, [/mm] wobei c noch in Abhängigkeit von r zu bestimmen ist !
Grüße,
Stefan
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