Konstr. Zirkel u. Lineal < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 14.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Sei M = {0,1}, r [mm] \in \IZ [/mm] eine ganze Zahl und p [mm] \in \IZ [/mm] eine Primzahl mit ggT(p,r) = 1.
Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ohne 0 ist n-te [mm] \wurzel{pr} [/mm] (also die n-te Wurzel von pr) mit Zirkel und Lineal aus M konstruierbar? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter. Mit Hilfe von Zirkel und Lineal kann ich doch prinzipielle Wurzeln konstruieren, oder?!? Für welche Wurzeln muss denn dann eine Einschränkung geschehen?!
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen...
Viele Grüße
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 14.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit Zirkel und Lineal kann man nur Quadratwurzeln konstruieren
wenn da geht, natürlich auch darus wieder die Wurzeln usw. keine dritten Wurzeln keine 5 ten.
Man kann ja nur Kreise mit Kreisen, und mit Geraden schneiden, was nur quadratische Gl. löst.
Was ich nicht verstehe ist, was das mit p*r zu tun hat.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Sei M = {0,1}, r [mm]\in \IZ[/mm] eine ganze Zahl und p [mm]\in \IZ[/mm] eine
> Primzahl mit ggT(p,r) = 1.
> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ohne 0 ist [mm]\wurzel[n]{pr}[/mm] mit Zirkel und Lineal aus M
> konstruierbar?
Wenn $r = 0$ ist, dann geht das immer. Also sei $r [mm] \neq [/mm] 0$.
Das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[n]{p r}$ [/mm] durch [mm] $x^n [/mm] - p r$ gegeben (irreduzibel nach Eisenstein). Damit [mm] $\sqrt[n]{p r}$ [/mm] also ueberhaupt in einer iterierten Quadratwurzelerweiterung liegt, muss also $n$ eine Potenz von 2 sein (warum?).
Aber in dem Fall ist [mm] $\IQ(\sqrt[n]{p r})/\IQ$ [/mm] immer eine iterierte Quadratwurzelerweiterung (warum?).
Also ...?
LG Felix
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