Konstanten und spez. Afg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe keine Möglichkeit gefunden die Aufgabe zu löschen. Die Frage ist unsinnig, ich habe zwei Aufgaben miteinander verwechselt! Sorry @nitro1185 und alle anderen, die das gelesen haben.
Der Lösungsweg von der fraglichen DGL aus der Aufgabe
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL mit Hilfe einer geeigneten Substitution:
[mm]{x}^{2}y' = \frac{1}{4}x^2+y^2[/mm] |
würde mich aber trotzdem interessieren.
Ich komme nur bis
[mm]\ln \left( x \right) = \integral_{}^{}{\frac{du}{\frac{1}{4}u^2-u}}[/mm]
Sorry nochmal für das Durcheinander. Das ist die ursprüngliche Aufgabe, lediglich meine vorgeschlagenen Ergebnisse gehörten zu einer anderen.
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Wenn du durch [mm]x^2[/mm] dividierst, erhältst du
[mm]y' = \frac{1}{4} + \left( \frac{y}{x} \right)^2[/mm]
Man probiert es daher mit der Substitution [mm]y = xu[/mm], für die dann [mm]y' = u + xu'[/mm] ist. Damit geht die gegebene Differentialgleichung über in
[mm]u + xu' = \frac{1}{4} + u^2[/mm]
[mm]xu' = \left( u - \frac{1}{2} \right)^2[/mm]
Und die weitere Substitution [mm]v = u - \frac{1}{2}[/mm] mit [mm]v' = u'[/mm] führt schließlich auf die Differentialgleichung
[mm]xv' = v^2[/mm]
die man leicht durch Trennen der Veränderlichen lösen kann. Die Rücksubstitutionen ergeben dann [mm]y[/mm].
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