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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 25.07.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, [/mm] f(z)=u(z)+iv(z) eine ganze Fkt mit v(z) [mm] \ge [/mm] 1 für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Zeige, dass f konstant ist |
Hallo,
ich finde leider keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe...
Liouville kann ich nicht anwenden, denn weshalb sollte f beschränkt sein?
Dann habe ich überlegt indirekt zu argumentieren und anzunehmen f sein nicht konstant. Dann könnte man ja bspw. den Satz von der Gebietstreue anwenden, was mich allerdings auch nicht weiter bringt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Sa 25.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC,[/mm] f(z)=u(z)+iv(z) eine ganze Fkt mit v(z)
> [mm]\ge[/mm] 1 für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeige, dass f konstant ist
> Hallo,
>
> ich finde leider keinen richtigen Ansatz für die
> Aufgabe...
>
> Liouville kann ich nicht anwenden
Doch !
, denn weshalb sollte f
> beschränkt sein?
Ja, warum wohl ?
> Dann habe ich überlegt indirekt zu argumentieren und
> anzunehmen f sein nicht konstant. Dann könnte man ja bspw.
> den Satz von der Gebietstreue anwenden, was mich allerdings
> auch nicht weiter bringt...
f ist nullstellenfrei. Somit ist g:=1/f eine ganze Funktion.
zeige: |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 25.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Woraus folgerst du denn die Nullstellenfreiheit. Man weiß doch nur dass v(z) [mm] \ge [/mm] 1 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 25.07.2015 | | Autor: | hippias |
Naja. Angenommen es ist $f(z)=0$ fuer ein [mm] $z\in \IC$. [/mm] Was kannst Du daraus fuer $v$ (und $u$) schlussfolgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 So 26.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Woraus folgerst du denn die Nullstellenfreiheit. Man weiß
> doch nur dass v(z) [mm]\ge[/mm] 1 ist.
Ich kanns mir nicht vekneifen: fangen wir wirklich bei Adam und Eva an ?
1. gibts eine reelle Zahl v mit v=0 und v [mm] \ge [/mm] 1 ?
2. sei w=u+iv [mm] \in \IC [/mm] mit u,v [mm] \in \IR. [/mm] Gilt dann
w=0 [mm] \gdw [/mm] u=v=0 ?
Wenn Du Frage 1 mit "Nein" beantworten kannst und Frage 2 mit "Ja", so sollte Dir die Nullstellenfreiheit von f klar sein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 26.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Dass |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] gilt, ist klar. Daraus folgt ja, dass |f(z)| [mm] \ge [/mm] 1. Damit ist gezeigt, dass f nach unten beschränkt ist. Aber wodurch ist f nach oben beschränkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 27.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Oh > Dass |g(z)| [mm]\le[/mm] 1 [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] gilt, ist klar. Daraus
> folgt ja, dass |f(z)| [mm]\ge[/mm] 1. Damit ist gezeigt, dass f nach
> unten beschränkt ist. Aber wodurch ist f nach oben
> beschränkt?
g ist beschränkt
Fred
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