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Konsistenz: Gesetz der großen Zahlen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Di 31.01.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Ich hatte mal vor längerer Zeit gezeigt, daß der ML-Schätzer des Parameters [mm] $\beta$ [/mm] bei bekanntem [mm] $\alpha$ [/mm] der Gammaverteilung

[mm] $\frac{\overline{x}}{\alpha}$ [/mm] ist,


wobei [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] iid Gammaverteilt.


Wie zeigt man, daß dieser Schätzer konsistent ist?

Ich habe zwei Ideen und wüsste gerne, ob beides geht.

1.) Das ist die kürzere Idee.

[mm] $\overline{X}\to E(X_1)=\alpha\cdot \beta$ [/mm] nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen.

[mm] $\Rightarrow \frac{1}{\alpha}\overline{X}\to \beta$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$. [/mm]


2.)

Es gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}P\left(\vert \overline{X}-\alpha\beta\vert <\varepsilon\right)=1$, [/mm] da [mm] $\overline{X}$ [/mm] schwach konsistent ist.

Da [mm] $\alpha [/mm] >0$, gilt auch

[mm] $\lim_{n\to\infty}P\left(\vert\overline{X}-\alpha\beta\vert <\alpha\varepsilon\right)=1$ [/mm]

Naja und daher, wenn man durch alpha dividiert:

[mm] $\lim_{n\to\infty}P\left(\vert \frac{1}{\alpha}\overline{X}-\beta\vert <\epsilon\right)=1$ [/mm]


------

Sind 1.) und/ oder 2.) okay?

        
Bezug
Konsistenz: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mi 01.02.2012
Autor: dennis2

Fehlt irgendeine Angabe zur Beantwortung?

Wenn ja, ergänze ich das gerne.

Bezug
        
Bezug
Konsistenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mi 01.02.2012
Autor: luis52

Moin,

2) ist korrekt und stellt die saubere Argumentation fuer 1)  dar.

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Konsistenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Mi 01.02.2012
Autor: dennis2

(1) allein würde nicht gehen?

Bezug
                        
Bezug
Konsistenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 01.02.2012
Autor: luis52


> (1) allein würde nicht gehen?


Vielleicht, das kommt auf den Pruefer (?) an ...

vg Luis

Bezug
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