Konjugierten nicht in O_K < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung ist mit, K=Quot(A) und B der ganze Abschluss von A in L für A ganz-abgeschlossener Integritätsring.
Es gilt
Ist [mm] x\in [/mm] B => [mm] \sigma(x) [/mm] sind ganz über A, denn:
Da [mm] x\in [/mm] B gibt es ein normiertes Polynom aus A[X] mit f(x)=0, insbesondere auch für [mm] f(\sigma(x))=0 [/mm] für [mm] \sigma [/mm] eine K_Einbettung. Wegen [mm] \sigma f(x)=f(\sigma(x))=0 [/mm] sind somit auch die Konjugierten Nullstellen eines normierten Polynoms, da die Koeffizienten aus A erhalten bleiben .
Nun bin ich über dieses hier gestolpert:
[mm] x\in [/mm] B so sind die [mm] \sigma(x) [/mm] nicht unbedingt in B, aber können ganz über A sein. Meine Frage:
Was wäre ein Beispiel/Gegenbeispiel, dass [mm] \sigma(x) [/mm] nicht in B liegt
(vllt sogar mit [mm] A=\IZ, B=O_K, K=\IQ [/mm] und [mm] L=\IQ(\wurzel{d}) [/mm] quad. Erweiterung)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 10.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung ist mit,
> K=Quot(A) und B der ganze Abschluss von A in L für A
> ganz-abgeschlossener Integritätsring.
> Es gilt
> Ist [mm]x\in[/mm] B => [mm]\sigma(x)[/mm] sind ganz über A, denn:
> Da [mm]x\in[/mm] B gibt es ein normiertes Polynom aus A[X] mit
> f(x)=0, insbesondere auch für [mm]f(\sigma(x))=0[/mm] für [mm]\sigma[/mm]
> eine K_Einbettung. Wegen [mm]\sigma f(x)=f(\sigma(x))=0[/mm] sind
> somit auch die Konjugierten Nullstellen eines normierten
> Polynoms, da die Koeffizienten aus A erhalten bleiben .
>
> Nun bin ich über dieses hier gestolpert:
> [mm]x\in[/mm] B so sind die [mm]\sigma(x)[/mm] nicht unbedingt in B, aber
> können ganz über A sein. Meine Frage:
> Was wäre ein Beispiel/Gegenbeispiel, dass [mm]\sigma(x)[/mm] nicht
> in B liegt
Nun, eigentlich ist das ganz einfach: man nimmt eine Koerpererweiterung $L/K$, die nicht normal ist, also kein Zerfaellungskoerper ist. Dann gibt es einen $K$-Automorphismus [mm] $\sigma$ [/mm] vom alg. Abschluss [mm] $\overline{K}$, [/mm] der mind. ein Element von $L$ ausserhalb von $L$ abbildet. Dieses Element kannst du passend mit einem ganzen Element [mm] $\neq [/mm] 0$ aus $K$ multiplizieren, so dass das Element selber ganz ist; es wird dann vom Automorphismus immer noch auf etwas ausserhalb $L$ abgebildet.
> (vllt sogar mit [mm]A=\IZ, B=O_K, K=\IQ[/mm] und [mm]L=\IQ(\wurzel{d})[/mm]
Du meinst $B = [mm] O_L$, [/mm] oder?
> quad. Erweiterung)
Mit quadratischen Erweiterungen klappt das nicht, die sind immer normal.
Aber pnimm $A = [mm] \IZ$, [/mm] $K = [mm] \IQ$, [/mm] $L = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] und $B = [mm] O_L$. [/mm] Sei [mm] $\sigma$ [/mm] der Homomorphismus $L [mm] \to \IC$, [/mm] der [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[3]{2}$ [/mm] auf [mm] $\beta [/mm] := [mm] \exp(2 \pi [/mm] i/3) [mm] \sqrt[3]{2} \not\in \IR$ [/mm] abbildet. Dann sind [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ganz ueber [mm] $\IZ$, [/mm] jedoch ist [mm] $\beta [/mm] = [mm] \sigma(\alpha) \not\in O_L$, [/mm] da [mm] $\beta$ [/mm] kein Element von $L$ ist.
LG Felix
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Ja [mm] O_L [/mm] war gemeint.
Danke, das hat geholfen :)
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Eine Frage ergibt sich doch noch:
Ist dir das mit der normalen Körpererweiterung aus einem bestimmten Grund eingefallen? Denn es gibt für ganz abgeschlossene Ringe in ihrem Quotientenkörper die Bezeichnung Normalisierung .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Fr 11.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eine Frage ergibt sich doch noch:
> Ist dir das mit der normalen Körpererweiterung aus einem
> bestimmten Grund eingefallen? Denn es gibt für ganz
> abgeschlossene Ringe in ihrem Quotientenkörper die
> Bezeichnung Normalisierung .
Die Normalisierung von (vorher) noch nicht ganzabgeschlossenen Ringen im Quotientenkoerper hat nichts mit normalen ![[]](/images/popup.gif) Koerpererweiterungen zu tun.
Bei normalen Koerpererweiterungen geht es um die Frage, ob die Konjugierten (in einem alg. Abschluss) von Elementen des Erweiterungskoerper wieder im Erweiterungskoerper liegen. Die normalen Koerpererweiterungen sind genau die, bei denen das immer der Fall ist.
LG Felix
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