Konj.klassen v. Permutationen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 11.01.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Es seien [mm] g,h\in\ S_n [/mm] Elemente der Permutationsgruppe zum Index n.
Das Element [mm] g [/mm] heißt konjugiert zu [mm] h [/mm], wenn es ein [mm] k\in\ S_n [/mm] gibt, so dass [mm] g=khk^{-1} [/mm].
Dies definiert die Relation:
[mm] gRh \gdw [/mm] g ist konjugiert zu h.
(a) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist!
(b) Bestimmen Sie die Konjugationsklassen von [mm] S_3 [/mm] und von [mm] S_4 [/mm] |
Hallo!
Ich wollte eigentlich gerade obige Aufgabe bearbeiten, allerdings habe ich dabei einige Probleme beim Verständniss der Aufgabe (bzw fehlendes Hintergrundwissen:
Ich weiß nicht,
1) Ob eine Permutationsgruppe dasselbe ist, wie eine Symmetriegruppe
(oder sind in einer Permutationsgruppe einafch alle Zykel in Permutationen zerlegt?)
2) Was das Inverse einer Permutation ist
und
3) Ob mit [mm] g=khk^{-1} [/mm] gemeint ist [mm] g=k\circ h\circ k^{-1} [/mm], bzw wie die Multiplikation von Permutationen funktioniert.
Für Sachdienliche Hinweise wäre ich sehr dankbar 
P.S.: formliche Schwächen bitte ich zu entschuldigen, das ist hier mein erster wirklicher Beitrag (und mit TEX kenn ich mich auch (noch) nicht aus)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 11.01.2008 | | Autor: | koepper |
> Es seien [mm]g,h\in\ S_n[/mm] Elemente der Permutationsgruppe zum
> Index n.
> Das Element [mm]g[/mm] heißt konjugiert zu [mm]h [/mm], wenn es ein [mm]k\in\ S_n[/mm]
> gibt, so dass [mm]g=khk^{-1} [/mm].
> Dies definiert die Relation:
> [mm]gRh \gdw[/mm] g ist konjugiert zu h.
>
> (a) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation
> ist!
> (b) Bestimmen Sie die Konjugationsklassen von [mm]S_3[/mm] und von
> [mm]S_4[/mm]
Hallo DaReava und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich weiß nicht,
> 1) Ob eine Permutationsgruppe dasselbe ist, wie eine
> Symmetriegruppe
nein, auch wenn eine Permutationsgruppe manchmal "symmetrische Gruppe" genannt wird, ist das nicht das gleiche. Symmetriegruppen beziehen sich immer auf ein geometrisches Objekt.
Die Elemente einer Permutationsgruppe [mm] $S_n$ [/mm] sind ganz einfach die bijektiven Abbildungen [mm] $\IN_n \to \IN_n.$ [/mm] Dabei bezeichnet [mm] $\IN_n$ [/mm] die natürlichen Zahlen von 1 bis n.
> (oder sind in einer Permutationsgruppe einafch alle Zykel
> in Permutationen zerlegt?)
sorry, verstehe gerade nicht, was du meinst. Zykel sind spezielle Permutationen.
> 2) Was das Inverse einer Permutation ist
Die Umkehrfunktion.
> 3) Ob mit [mm]g=khk^{-1}[/mm] gemeint ist [mm]g=k\circ h\circ k^{-1} [/mm],
> bzw wie die Multiplikation von Permutationen funktioniert.
Es ist die Komposition gemeint.
> P.S.: formliche Schwächen bitte ich zu entschuldigen, das
> ist hier mein erster wirklicher Beitrag (und mit TEX kenn
> ich mich auch (noch) nicht aus)
da gibts nichts zu entschuldigen, dein TeX-Stil ist so perfekt, wie ich es selten bei einem Anfänger gesehen habe 
Wenn du weitere Fragen hast, nur zu...
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Fr 11.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Danke für die freundliche und schnelle Antwort!
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>> (oder sind in einer Permutationsgruppe einafch alle Zykel
>> in Permutationen zerlegt?)
>sorry, verstehe gerade nicht, was du meinst. Zykel sind spezielle Permutationen.
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->Das war mein Fehler - ich hab da irgendwie Transpositionen im Kopf gehabt, das hat wohl auch zu einiger Verwirrung geführt. Jetzt ist das ganze aber schon viel klarer
und ich kann mir das ganze schon so halbwegs vorstellen.
Lediglich eins noch um sicher zu gehen:
Wenn [mm] khk^{-1} [/mm] eine Verkettung von Abbildungen ist,
dann gilt [mm] khk^{-1} = k^{-1}\circ h\circ k [/mm],
nicht [mm] khk^{-1} = k\circ h\circ k^{1} [/mm] ??
(was ich ja vorher geschrieben habe)
(Die Frage mag banal klingen, ich bin mir da grade nur nicht 100%ig sicher...)
lg reava
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 11.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Wenn [mm]khk^{-1}[/mm] eine Verkettung von Abbildungen ist,
> dann gilt [mm]khk^{-1} = k^{-1}\circ h\circ k [/mm],
nein. (Man spricht die Komposition [mm] $\circ$ [/mm] auch "nach")
> nicht [mm]khk^{-1} = k\circ h\circ k^{1}[/mm]
doch, genau so ist es richtig!
Du hast wahrscheinlich etwas anderes im Hinterkopf:
Bei der Anwendung der Komposition werden die Abbildungen von rechts nach links angewendet.
LG
Will
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