Kongruenzrelation beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 06.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | Sei m [mm] \in \IN, [/mm] m > 1, b [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie:
Falls es ein a [mm] \in \IZ [/mm] gibt mit a [mm] \* [/mm] b [mm] \equiv [/mm] 1 (mod m), dann gibt es auch ein a' [mm] \in \IN, [/mm] a' < m mit a' [mm] \* [/mm] b [mm] \equiv [/mm] 1 (mod m) |
Hi,
ich kann die Aussage zwar nachvollziehen, jedoch fehlt mir jeder Ansatz diese zu beweisen. Kann mit da vielleicht jemand weiterhelfen?
Danke schon mal,
Grüße
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Hallo Neongelb,
in der Restklassenrechnung ist das eine triviale Aussage. Trotzdem hilft Dir das auch, einen Ansatz zu finden:
> Sei m [mm]\in \IN,[/mm] m > 1, b [mm]\in \IZ.[/mm] Zeigen Sie:
>
> Falls es ein a [mm]\in \IZ[/mm] gibt mit a [mm]\*[/mm] b [mm]\equiv[/mm] 1 (mod m),
> dann gibt es auch ein a' [mm]\in \IN,[/mm] a' < m mit a' [mm]\*[/mm] b [mm]\equiv[/mm]
> 1 (mod m)
>
> Hi,
> ich kann die Aussage zwar nachvollziehen, jedoch fehlt mir
> jeder Ansatz diese zu beweisen. Kann mit da vielleicht
> jemand weiterhelfen?
Man kann die Aussagen ja auch anders formulieren:
Falls es [mm] a,k\in\IZ [/mm] gibt, so dass $a*b=1+k*m$, dann gibt es auch [mm] $a'\in\IN, [/mm] a'<m$ und [mm] k'\in\IZ, [/mm] so dass $a'*b=1+k'*m$ ist.
Das sieht nun nicht viel anders aus, hat aber den Vorteil, dass hier echte Gleichungen stehen und keine Kongruenzen oder Äquivalenzen.
Grüße
reverend
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Okay,
mein Lösungsansatz
umformen der Gleichungen:
1: a [mm] \* [/mm] b = k [mm] \* [/mm] m + 1 [mm] \equiv [/mm] a [mm] \* [/mm] b - K * m = 1
2: a' [mm] \* [/mm] b = k [mm] \* [/mm] m + 1 [mm] \equiv [/mm] a' [mm] \* [/mm] b - K * m = 1
um die Gleichung 1 zu erfüllen müssen linke und Rechte Seite den selben ggT haben. Dieser kann also nur 1 sein.
Nun weiß ich nicht wirklich wie ich weiter machen soll...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 10.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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