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| Aufgabe | Gegeben ist das System
3x kongruent 3 mod 10
ax kongruent 1 mod 14
linearer Kongruenzen zu den nicht teilerfremden Moduln m1 = 10
und m2 = 14.
Es soll nun 1.) die Menge aller a Element Z bestimmt werden,
für die das System lösbar ist.
Es soll 2.) das System für die kleinste Zahl a Element M,
die größer ist als 7, gelöst werden. |
Wer kann mir für die obigen Teilaufgaben Lösungshinweise
oder Lösungen geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Sa 25.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Gegeben ist das System
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> 3x kongruent 3 mod 10
> ax kongruent 1 mod 14
>
> linearer Kongruenzen zu den nicht teilerfremden Moduln m1 =
> 10
> und m2 = 14.
Nun, die erste der beiden Gleichungen kannst du ja loesen, ohne etwas ueber $a$ zu wissen. Bestimme doch da mal die allgemeine Loesung und setz das in die zweite Gleichung ein.
Die neue Gleichung kannst du nun mit aus der VL bekannten Loesungskriterien (wann ist [mm] $\lambda [/mm] x [mm] \equiv \mu \pmod{n}$ [/mm] loesbar?) untersuchen.
Hilft dir das?
LG Felix
> Es soll nun 1.) die Menge aller a Element Z bestimmt
> werden,
> für die das System lösbar ist.
>
> Es soll 2.) das System für die kleinste Zahl a Element M,
> die größer ist als 7, gelöst werden.
> Wer kann mir für die obigen Teilaufgaben Lösungshinweise
> oder Lösungen geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo felixf,
erst einmal vielen lieben Dank für deine Hilfe. Ich beiße mir an dieser Aufgabe schon die Zähne aus.
Ich bin jetzt zunächst so vorgegangen, wie du mir das beschrieben hast (zumindest hoffe ich das):
1.) Auflösen der ersten Kongruenz liefert: X ist kongruent zu 3 mod 10
2.) Das ermittelte X habe ich in die zweite Kongruenz eingesetzt und schließlich erhalte ich für a: a = 5 + 14*d für alle d Element Z
Jetzt bin ich aber noch verunsichert. Unser Prof. gab uns als Tipp mit, zunächst zu ermitteln, für welche a die zweite Kongruenz lösbar ist. Dann sollen wir zeigen, dass für all diese a auch das System lösbar ist. Ich hatte mir deshalb zunächst gedacht, dass mein a dann die Form 2n+1 , mit n ungleich drei haben müsse, da der ggt(a,14) ein Teiler von 1 sein muss.
Dein Vorschlag erscheint mir logisch, aber habe ich dann auch alle Möglichkeiten für a erhalten?
Nochmals vielen Dank für deinen Einsatz!!! ich habe mich schon mit einer Freundin an dieser Aufgabe versucht, aber ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 27.02.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sonnenschein!
> erst einmal vielen lieben Dank für deine Hilfe. Ich beiße
> mir an dieser Aufgabe schon die Zähne aus.
>
> Ich bin jetzt zunächst so vorgegangen, wie du mir das
> beschrieben hast (zumindest hoffe ich das):
>
> 1.) Auflösen der ersten Kongruenz liefert: X ist kongruent
> zu 3 mod 10
Das stimmt nicht, man erhaelt $x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{10}$!
[/mm]
> 2.) Das ermittelte X habe ich in die zweite Kongruenz
> eingesetzt und schließlich erhalte ich für a: a = 5 + 14*d
> für alle d Element Z
>
> Jetzt bin ich aber noch verunsichert. Unser Prof. gab uns
> als Tipp mit, zunächst zu ermitteln, für welche a die
> zweite Kongruenz lösbar ist. Dann sollen wir zeigen, dass
> für all diese a auch das System lösbar ist. Ich hatte mir
> deshalb zunächst gedacht, dass mein a dann die Form 2n+1 ,
> mit n ungleich drei haben müsse, da der ggt(a,14) ein
> Teiler von 1 sein muss.
Wenn $a = 2 [mm] \cdot [/mm] 10 + 1$ ist, dann ist $ggT(a, 14) = ggT(21, 14) = 7$. Du musst also noch mehr ausschliessen. Ansonsten bist du aber schon auf dem richtigen Weg!
> Dein Vorschlag erscheint mir logisch, aber habe ich dann
> auch alle Möglichkeiten für a erhalten?
Ja. Wenn du nichts falsch gemacht hast  Er ist im Prinzip das gleiche was dein Prof auch vorgeschlagen hat, nur anders durchgefuehrt (in dem Sinne das du nicht mehr zeigen musst das es fuer diese $a$ eine gemeinsame Loesung beider Kongruenzen gibt).
Uebrigens, noch eine etwas andere Methode fuer solche Probleme:
Zerlege die erste Gleichung in eine Kongruenz modulo 2 und in eine Kongruenz modulo 5, und die zweite Gleichung in eine Kongruenz modulo 2 und in eine Kongruenz modulo 7 (dann hast du nach dem Chinesischer Restsatz genau die gleichen Loesungen). Jetzt kannst du die beiden Kongruenzen modulo 2 vergleichen: Damit das System eine Loesung hat, muessen die beiden Gleichungen ja das gleiche liefern. Daraus bekommst du sofort $a [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{2}$. [/mm] Weiterhin muss nach der Kongruenz modulo 7 gelten $a [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7}$. [/mm] Und Anhand des Systems siehst du auch sofort, das diese beiden Bedingungen hinreichend fuer die Existenz einer Loesung $x$ sind (Chinesischer Restsatz).
LG Felix
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