Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 03.09.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Sei [mm] p\not=2,3 [/mm] eine Prinzahl.
Zeigen Sie:
Ist die Kongruenz [mm] X^{4}\equiv-1 [/mm] (mod p) lösbar in [mm] \IZ, [/mm] so ist [mm] p\equiv1 [/mm] (mod 8). |
Hallo,
auch bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter. Ich habe bereits herausgefunden, dass [mm] p\equiv1 [/mm] (mod 4) gelten muss, weil [mm] (\bruch{-1}{p})=1 [/mm] genau dann, wenn [mm] p\equiv1 [/mm] (mod 4). Da hab ich einfach [mm] X^{4}=(X^{2})^{2} [/mm] und dann kann ich ja mit dem Legendre-Symbol argumentieren. Wies dann aber weitergeht, bzw. wie man dann den Fall [mm] p\equiv5 [/mm] (mod 8) ausschließen kann, weiß ich leider nicht.
Weiß da jemand von Euch weiter? Vielen Dank schon mal!
Gruß Leni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni!
> Sei [mm]p\not=2,3[/mm] eine Prinzahl.
> Zeigen Sie:
> Ist die Kongruenz [mm]X^{4}\equiv-1[/mm] (mod p) lösbar in [mm]\IZ,[/mm] so
> ist [mm]p\equiv1[/mm] (mod 8).
Da $-1 [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p}$ [/mm] (da $p [mm] \neq [/mm] 2$) bedeutet dies gerade, dass $X$ in der multiplikativen Gruppe [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] die Ordnung 8 hat. Nach dem Satz von Lagrange muss also 8 ein Teiler der Gruppenordnung sein, und [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] hat genau $p - 1$ Elemente. Also gilt $8 [mm] \mid [/mm] (p - 1)$.
LG Felix
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