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| Aufgabe | A [mm] \in \IR^{m \times n}, [/mm] m [mm] \ge [/mm] n, rang(A)=n
zu zeigen (K steht für Konditionszahl)
a) max [mm] ||Ax||_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda_{max}(A^{T}A)}
[/mm]
min [mm] ||Ax||_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda_{min}(A^{T}A)}
[/mm]
Maximum bzw. Minimum über [mm] ||x||_{2} [/mm] = 1
b) [mm] K_{2}(A)= ||A||_{2}||(A^{T}A)^{-1}A^{T}||_{2}
[/mm]
c) [mm] K_{2}(A^{T}A)= ||A||^{2}||(A^{T}A)^{-1}|| [/mm] (2-norm!)
d) [mm] K_{2}(A)^{2}=K_{2}(A^{T}A) [/mm] |
Hallo..
Ich habe komme hier mit irgendwie nicht ganz zurecht..
Finde selbst bei der a) keinen Ansatz..und mir ist auch nicht ganz klar, wie man die Konditionszahl für nichtquadratische Matrizen bestimmt..
Ich hoffe, dass mit jemand einen Ansatz oder Tipps geben kann..
danke sehr 
LG
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> A [mm]\in \IR^{m \times n},[/mm] m [mm]\ge[/mm] n, rang(A)=n
>
> zu zeigen
> a) max [mm]||Ax||_{2}=\wurzel{\lambda_{max}(A^{T}A)}[/mm]
[mm]\lambda_{\max}(B)=[/mm] größter Eigenwert von B?
zum selber basteln:
- Symmetrie von [mm] $A^TA\;$ [/mm] für Existenz der Orthnormalbasis benutzen
- [mm] $||Ax||^2$ [/mm] ausrechnen, indem x als LinearKombi von den ONB-Vektoren geschrieben wird
- Orthonormalität ausnutzen
- Abschätzen
- Wurzel ziehen
oder komplett:
Mit [mm]||A||[/mm] meine ich [mm]||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}[/mm]
Du weißt [mm]B:=A^TA[/mm] ist eine symmetrische und positiv semi-definite Matrix, da gilt
[mm]x^TA^TAx=(Ax)^TAx=||Ax||^2\geq 0,\quad \forall x\in \IR^n[/mm]
Damit hat B Eigenwerte [mm]\lambda_1,\ldots,\lambda_n[/mm] zu orthonormalen Eigenvektoren [mm]v_1\ldots,v_n[/mm] und es gilt
[mm]Bv_i=\lambda_iv_i[/mm] für alle i
Die Eigenvektoren sind orthogonal, d.h. [mm]v_i^Tv_j=\delta_{ij}[/mm]. Nehmen wir uns ein beliebiges [mm]x\in\IR^n[/mm] mit der Darstellung [mm]x=\sum \alpha_iv_i[/mm], dann geht das Rechnen los
[mm]||Ax||^2=x^TBx=(\sum \alpha_iv_i)^TB(\sum \alpha_iv_i)[/mm]
[mm]=(\sum \alpha_iv_i)^T(\sum \lambda_i \alpha_iv_i)=\sum \lambda_i\alpha_i^2\leq \sum \lambda_{\max}\alpha_i^2[/mm] (wegen Orthogonalität)
[mm]= \lambda_{\max}\sum \alpha_i^2=\lambda_{\max}||x||^2[/mm]
und Wurzel ziehen
Damit hättest du es und für das Minimum mit Hilfe [mm] $\geq$ [/mm] auch.
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Danke wieschoo für die ausführliche Erklärung
Kann mir vllt jemand bei der b) helfen? die c) ist einfach, denn diese folgt ja direkt aus der b) mittels Substitution.
Ich würde ja sagen, dass [mm] B:=A^{T}A [/mm] symm., pos. def. ist (haben wir bereits bewiesen!) und daher eine ortho. Matrix T ex. sodass [mm] TDT^{T}=B [/mm] gilt..
die T's fallen weg, da ortho. Matrizen nicht zur Norm beitragen..
aber was dann?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 12.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 12.01.2012 | | Autor: | matux |
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