Kondition für 0 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | Moelle |
| Aufgabe | Wenn C = [mm] {x²+y²-2z²\le0, 0\le z \le 4} [/mm] welche der Folgenden Konditionen führt zu:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{C}^{}{f(x,y,z) dx dy dz}}}=0
[/mm]
a) f(x,-y,-z) = - f(x,y,z)
b) f(x,-y,z) = f(x,y,z)
c) f(-x,y,z) = - f(x,y,z)
d) f(-x,-y,-z) = - f(x,y,z) |
Hallo alle zusammen!
Also vorerst: Lösung c) ist die Richtige Lösung!
Ich habe jedoch nur Ansatzweise eine Idee wie ich darauf kommen könnte - ich denke es hat etwas mit der Symmetrie des Körpers zu tun?
Könnte mir bitte jemand etwas unter die Arme greifen, sollte es eine gängige Theorie dazu geben, bitte lasst es mich wissen!
Ich danke euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 17.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn C = [mm]{x²+y²-2z²\le0, 0\le z \le 4}[/mm] welche der Folgenden
> Konditionen führt zu:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{C}^{}{f(x,y,z) dx dy dz}}}=0[/mm]
>
> a) f(x,-y,-z) = - f(x,y,z)
> b) f(x,-y,z) = f(x,y,z)
> c) f(-x,y,z) = - f(x,y,z)
> d) f(-x,-y,-z) = - f(x,y,z)
> Hallo alle zusammen!
>
> Also vorerst: Lösung c) ist die Richtige Lösung!
>
> Ich habe jedoch nur Ansatzweise eine Idee wie ich darauf
> kommen könnte - ich denke es hat etwas mit der Symmetrie
> des Körpers zu tun?
> Könnte mir bitte jemand etwas unter die Arme greifen,
> sollte es eine gängige Theorie dazu geben, bitte lasst es
> mich wissen!
Zunächst überlegst du dir, welche Kondition die Menge C invariant lässt. Nur dann kannst du eine Aussage über das Integral herleiten.
Zum Beispiel wird bei a) die Punktspiegelung in der yz-Ebene betrachtet:
[mm] \vektor{x\\y\\z} \mapsto \vektor {x\\-y\\-z} [/mm]
und angenommen, dass die Funktion f dabei das Vorzeichen wechselt. Diese Punktspiegelung hilft nicht, da sie die Menge C nicht in sich selbst überführt (wegen [mm]0\le z\le 4[/mm]).
Wenn du die Fälle gefunden hast, die C nicht ändern, überlegst du dir, was diese Transformation für das Integral bedeutet. Wenn eine Transformation, die C nicht ändert, das Vorzeichen des Integrals ändert, so muss dieses 0 sein. Formal zeigst du das, indem du die entsprechende Koordinatentransformation der Integrationsvariablen durchführst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Moelle |
Hallo!
> Zunächst überlegst du dir, welche Kondition die Menge C
> invariant lässt. Nur dann kannst du eine Aussage über das
> Integral herleiten.
Was du mit "welche Kondition die Menge C invariant lässt" ist mir noch nicht ganz klar.
> Zum Beispiel wird bei a) die Punktspiegelung in der
> yz-Ebene betrachtet:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z} \mapsto \vektor {x\\-y\\-z}[/mm]
>
> und angenommen, dass die Funktion f dabei das Vorzeichen
> wechselt. Diese Punktspiegelung hilft nicht, da sie die
> Menge C nicht in sich selbst überführt (wegen [mm]0\le z\le 4[/mm]).
Also, es geht hier um eine Punktspiegelung, und ich muss herausfinden, welche Kondition die Menge C bzw. wenn ich es aufzeichne, den Kegel zwischen 0 und 4 in sich selbst spiegelt und das Vorzeichen des Integrals ändert?
Ich komme noch nicht so gut mit, es ist etwas neuer Stoff für mich, deshalb noch etwas schwer zu verstehen.. Um ganz genau zu sein, habe ich noch etwas Probleme die Funktion f(x,y,z) mit C zu verknüpfen und eine Aussage darüber zu tätigen...
Danke für die Antwort
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Fr 18.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
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> > Zunächst überlegst du dir, welche Kondition die Menge C
> > invariant lässt. Nur dann kannst du eine Aussage über das
> > Integral herleiten.
>
> Was du mit "welche Kondition die Menge C invariant lässt"
> ist mir noch nicht ganz klar.
>
> > Zum Beispiel wird bei a) die Punktspiegelung in der
> > yz-Ebene betrachtet:
> >
> > [mm]\vektor{x\\y\\z} \mapsto \vektor {x\\-y\\-z}[/mm]
> >
> > und angenommen, dass die Funktion f dabei das Vorzeichen
> > wechselt. Diese Punktspiegelung hilft nicht, da sie die
> > Menge C nicht in sich selbst überführt (wegen [mm]0\le z\le 4[/mm]).
>
> Also, es geht hier um eine Punktspiegelung, und ich muss
> herausfinden, welche Kondition die Menge C bzw. wenn ich es
> aufzeichne, den Kegel zwischen 0 und 4 in sich selbst
> spiegelt und das Vorzeichen des Integrals ändert?
Richtig.
> Ich komme noch nicht so gut mit, es ist etwas neuer Stoff
> für mich, deshalb noch etwas schwer zu verstehen.. Um ganz
> genau zu sein, habe ich noch etwas Probleme die Funktion
> f(x,y,z) mit C zu verknüpfen und eine Aussage darüber zu
> tätigen...
Überlege dir erst einmal, welche der angegebenen Transformationen den Kegel C in sich selbst überführen. Die andern helfen dir ja nicht weiter.
Viele Grüße
Rainer
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