Kondition berechnen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechne die absolute und relative Kondition der Funktion F, die von t auf die beiden Lösungen der Gleichung
$x^{2}-\frac{t^{2}+1}{t}*x+1=0$
abbildet. |
Hallo!
Ich habe mal versucht, die Konditionen entsprechend der Vorgehensweise in unserer Vorlesung zu berechnen und bitte um Korrektur.
Die Lösungen der Gleichung sind t und \frac{1}{t}, also geht es in der Aufgabe um die Funktion
$F(t) = \vektor{t\\ \frac{1}{t}}$.
Taylor-Reihe:
$F(t+\delta t) = F(t) + \frac{d F}{d t}(t)*\delta t + \mathcal{O}(|\delta t|^{2})$
$\Rightarrow \frac{||F(t+\delta*t) - F(t)||}{|\delta t|} \le \left\|\frac{d F}{d t}(t)\right\| + \mathcal{O}(|\delta t|)$,
nun ist
$\frac{d F}{d t}(t) = \vektor{1\\-\frac{1}{t^{2}}}$
und somit ($||*||$ euklidische Norm):
$\left\|\frac{d F}{d t}(t)\left\| = \sqrt{1 + \frac{1}{t^{4}}}$.
Damit erhält man wegen
$K_{abs}:=\sup\left\{\frac{||F(t+\delta*t) - F(t)||}{||\delta t||}\Big|\delta t \not= 0, t+\delta t \in X\right\}$ (X ist Defintionsbereich der Funktion F)
$K_{abs} \overset{*}{=} \sqrt{1 + \frac{1}{t^{4}}}$
D.h. das Problem ist für $x\to 0 $ schlecht konditioniert?
Nun noch relative Kondition:
$K = K_{abs}*\frac{||t||}{||F(x)||} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}*\frac{t}{\sqrt{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}} = \frac{\sqrt{t^{4} + 1}}{t^{2}}*\frac{t}{\frac{\sqrt{t^{4}+1}}{t}} = 1$
? Heißt das, dass das Problem "relativ" gesehen gut konditioniert ist?
Danke für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
