Kompositionsreihe auflösbar < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 So 20.11.2011 | | Autor: | mili03 |
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Liebes FOrum,
ich habe gerade auf Seite 37 im Buch
![[]](/images/popup.gif) Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra einen Beweis (endliche auflösbare Gruppe hat Normalreihe mit Faktoren, die zyklisch sind und Primzahlordnung haben!) gelesen, von dem ich denke, dass er falsch ist.
Im Satz 3.5 wird dort behauptet, dass alle Faktoren [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] einer Kompositionsreihe auflösbar sind (alle Faktoren in dieser Reihe sind einfach). Aber man hat vorher lediglich gezeigt, dass Faktoren einer abelschen Normalreihe wieder auflösbar sind. Eine Normalreihe mit einfachen Faktoren muss aber nicht zwingend abelsch sein, oder?
Was denkt ihr?
Bitt um Hilfe & Gruss,
mili
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Hallo,
> Im Satz 3.5 wird dort behauptet, dass alle Faktoren
> [mm]G_i/G_{i+1}[/mm] einer Kompositionsreihe auflösbar sind (alle
> Faktoren in dieser Reihe sind einfach).
Naja, es ist ja keine Kompositionsreihe einer beliebigen Gruppe, sondern die einer auflösbaren Gruppe G.
Sei [mm] G=G_0\supset G_1\supset\ldots\supset G_n=\{e\} [/mm] eine abelsche Normalreihe von G.
Angenommen, einer der Faktoren [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] ist nicht einfach. Dann gibt es einen Normalteiler N von [mm] G_i [/mm] mit [mm] G_i\supsetneq [/mm] N [mm] \supsetneq G_{i+1}, [/mm] sodass [mm] N/G_{i+1} [/mm] nichttrivialer Normalteiler in [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] ist.
Es ist dann trivialerweise [mm] N/G_{i+1} [/mm] abelsch als Untergruppe von [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] und weiterhin ist [mm] G_i/N [/mm] abelsch, denn nach 3. Isomorphiesatz gilt
[mm] G_i/N\cong(G_i/G_{i+1})/(N/G_{i+1}).
[/mm]
Auf der rechten Seite steht eine Faktorgruppe aus abelscher Gruppe (und abelschem Normalteiler), es ist also [mm] G_i/N [/mm] abelsch.
Durch Hinzufügen von N bleibt die Normalreihe also abelsch und da G endlich ist, bekommt man schließlich (eventuell durch Hinzufügen weiterer Elemente in die Normalreihe) eine abelsche Normalreihe mit einfachen Faktoren.
> Aber man hat vorher lediglich gezeigt, dass Faktoren einer abelschen
> Normalreihe wieder auflösbar sind. Eine Normalreihe mit
> einfachen Faktoren muss aber nicht zwingend abelsch sein, oder?
>
> Was denkt ihr?
>
> Bitt um Hilfe & Gruss,
> mili
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mili03 |
danke
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