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Forum "Relationen" - Komposition von Relationen
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Komposition von Relationen: Ist das symmetrisch?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Di 17.04.2012
Autor: msg08

Aufgabe
Seien X eine Menge und R1, R2 ⊆ X × X zwei Relationen. Dann ist das Relationenprodukt
definiert durch

R1 ◦ R2 = {(x, y) | ∃z ∈ X.xR1z ∧ zR2y}

Sind R1 und R2 symmetrisch, zeigen Sie, dass dann auch R1 o R2 symmetrisch ist.

Sei (x,y) [mm] \in [/mm] R1 o R2

=> Es existiert z [mm] \in [/mm] X mit xR1z und zR2y

wegen der Symmetrie von R1 und R2 folgt

=> zR1x und yR2z

wegen der Kommutativität von und

=> yR2z und zR1x

Definition von R1 o R2 bzw. eben R2 o R1

=> (y,x) [mm] \in [/mm] R2 o R1

rauskommen sollte doch aber sowas hier (y,x) [mm] \in [/mm] R1 o R2 oder?

        
Bezug
Komposition von Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Di 17.04.2012
Autor: tobit09

Hallo msg08,


die Aussage aus der Aufgabenstellung ist in der Tat falsch, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:

[mm] $X=\{1,2\}$ [/mm]
[mm] $R_1=\{(1,2),(2,1)\}$ [/mm]
[mm] $R_2=\{(2,2)\}$ [/mm]

(Es gilt [mm] $R_1\circ R_2=\{(1,2)\}$.) [/mm]


Viele Grüße
Tobias

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