Komposition linearer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Für einen Körper K betrachte man [mm] K^{n} [/mm] als K-Vektorraum. Es bezeichne
[mm] p_{i} [/mm] : [mm] K^{n} \to [/mm] K, [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \mapsto \alpha_{i}
[/mm]
für i = 1, ... , n, die Projektion auf die i-te Komponente. Man zeige:
(i) Die Abbildungen [mm] p_{i} [/mm] sind K-linear
(ii) Eine Abbildung f : V [mm] \to K^{n} [/mm] von einem K-Vektorraum V nach [mm] K^{n} [/mm] ist genau dann K-linear, wenn alle Kompositionen [mm] p_{i} \circ [/mm] f K-linear sind. |
(i) habe ich bereits gezeigt, sowie die Hinrichtung bei (ii)
Ich weiß also, dass die [mm] p_{i} [/mm] linear sind und dass [mm] p_{i} \circ [/mm] f linear ist.
Daraus will ich nun folgern, dass f linear ist, was mir nicht so leicht fällt.
zz. [mm] p_{i} \circ [/mm] f linear [mm] \Rightarrow [/mm] f linear
Seien [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V
Es gilt: [mm] p_{i}(f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})) [/mm] = [mm] p_{i}(f(v_{1})) [/mm] + [mm] p_{i}(f(v_{2}))
[/mm]
Sei [mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \in K^{n}
[/mm]
[mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] (\beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \beta_{n}) \in K^{n}
[/mm]
Dann
[mm] p_{i}(f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})) [/mm] =
[mm] p_{i}((\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) [/mm] + [mm] (\beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \beta_{n})) [/mm] =
[mm] p_{i}(\alpha_{1} [/mm] + [mm] \beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} [/mm] + [mm] \beta_{n}) [/mm] =
[mm] p_{i}(f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] = [mm] f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})
[/mm]
Ich habe so ein dumpfes Gefühl, dass das so nicht ganz hinhaut, wie dann?
Mit der skalaren Multiplikation habe ich das ähnlich gemacht.
LG Tommy
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Do 10.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
