Komponentendarstellung bestimm < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 10.04.2005 | | Autor: | dieIsa |
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Hallo zusammen,
Gegeben ist: ^m= [mm] \vektor{3 \\ 2 \\1} [/mm] A
A= (a,b,c,) B=(x,y,z)
x= 2b+c; y= 4a+b, z= 6a+c
m= [mm] \vektor{m{1} \\ m{2} \\ m{3}}B
[/mm]
die lineare unabhängikeit von basis a habe ich mit dem matrix verfahren beweisen können, doch wie kann ich jetzt die komponentendarstellung zur basis b bestimmen? ich bin wirklich ratlos und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand zumindest einen denkanstoß geben könnte!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Isa!
Also, wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du einen Vektor $m$ bezüglich einer Basis $A =(a,b,c)$ wie folgt gegeben:
[mm] $m_A [/mm] = [mm] \pmat{3 \\ 2 \\1}$.
[/mm]
Jetzt hast du eine Basistransformation
$x=2b+c$
$y=4a+b$
$z=6a+c$
und willst wissen, wie der Koordinatenvektor von $m$ zur Basis $B=(x,y,z)$ lautet.
Allgemein gilt:
[mm] $m_B [/mm] = [mm] T_B^A \cdot m_A$,
[/mm]
wobei [mm] $T_B^A$ [/mm] die Transformationsmatrix des Basiswechsels von Basis $A$ zur Basis $B$ lautet. Sprich: In den Spalten von [mm] $T_B^A$ [/mm] stehen die Koordinaten der "alten Basis" $A$ bezüglich der "neuen Basis" $B$.
Nun haben wir aber nur [mm] $T_A^B$ [/mm] gegeben, d.h. wir wissen nur, wie die Koordinaten der "neuen Basis" $B$ bezüglich der "alten Basis" $A$ lauten, nämlich so:
[mm] $T_A^B [/mm] = [mm] \pmat [/mm] { 0 & 4 & 6 [mm] \\ [/mm] 2 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 0 & 1}$.
Nun gilt aber glücklicherweise:
[mm] $T_B^A [/mm] = [mm] \left( T_A^B \right)^{-1}$.
[/mm]
Du musst also jetzt folgendes berechnen:
[mm] $m_B [/mm] = [mm] \pmat [/mm] { 0 & 4 & 6 [mm] \\ [/mm] 2 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 0 & [mm] 1}^{-1} \cdot \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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