Komplexifzierung Norm. Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei E ein reeller normierter Raum, sei F die Komplexifizierung von E.
Kann auf F eine Norm definiert werden, die eingeschränkt auf E der Norm von E entspricht?
Danke fuer alle Antworten!
Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 18.04.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hallo,
was hältst du von [mm] $\|v+iw\| [/mm] := [mm] \|v\| [/mm] + [mm] \|w\|?$
[/mm]
Ist nur ein Vorschlag... ich bin mir gerade nicht sicher, ob es überhaupt eine Norm ist.
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 So 18.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> was hältst du von [mm]\|v+iw\| := \|v\| + \|w\|?[/mm]
>
> Ist nur ein Vorschlag... ich bin mir gerade nicht sicher,
> ob es überhaupt eine Norm ist.
Es ist eine [mm] $\IR$-Norm, [/mm] aber keine [mm] $\IC$-Norm: [/mm] schliesslich muss [mm] $\|\lambda v\| [/mm] = [mm] |\lambda| \|v\|$ [/mm] sein, und das geht hier schon fuer $V = [mm] \IR$ [/mm] (also [mm] $V_\IC [/mm] = V [mm] \oplus [/mm] i V$) schief wenn du die Norm so waehlst.
Aber auf [mm] $\IC$ [/mm] definiert man die Standardnorm (den Betrag) ja auch als $|a + i b| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2}$ [/mm] und nicht als $|a + i b| = |a| + |b|$. Also bietet sich [mm] $\|v [/mm] + i [mm] w\| [/mm] := [mm] \sqrt{\|v\|^2 + \|w\|^2}$ [/mm] an; das wuerd ich einfach mal ausprobieren.
LG Felix
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Danke fuer die schnellen Antworten.
Ich hätte auch gedacht, dass es eigentlich mit der 2-Norm klappen muesste, es ist mir allerdings nicht gelungen zu zeigen, dass diese (über C) die zweite Normeigenschaft besitzt (also [mm] \parallel \lambda [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] |\lambda| \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] fuer [mm] \lambda \in \IC [/mm] )
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Ha, sehr interessanter Artikel! Und tatsächlich, die 2-"Norm" auf der Komplexifzierung ist dann und nur dann eine (C)-Norm, falls die ursprüngliche, auf E definierte Norm von einem Skalarprodukt stammt (S.70/Prop3).
Die kappute Norm hat anscheinend Schaden bei einigen von Taylors Arbeiten hinterlassen, und am Ende des Artikels wird noch von einem weiteren Mathematiker berichtet, der die vermeintliche "Norm" in seine Arbeit eingebaut hat.
Aber anscheinend liefert eine recht ähnliche Funktion tatsächlich eine Norm auf der Komplexifizierung F, mittels welcher der ursprünglich betrachtete Raum (E) isometrisch in F eingebettet ist.
(Die MW-Norm, welche nach Proposition 3 definiert wird).
Danke fuer Antwort und Artikel!
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