Komplexes Wegintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{\kappa(2,0)}^{}{\bruch{dz}{z^2-1}} [/mm] , wobei [mm] \kappa(2,0) [/mm] die in positiver Richtung durchlaufene Kreislinie vom Radius 2 um Mittelpunkt 0 ist. |
Hallo zusammen!
Ich soll das Integral da oben berechnen.
Um das Wegintegral zu bestimmen, muss ich den Weg [mm] \kappa(2,0) [/mm] ja erstmal als Funktion ausdrücken, oder?
Also [mm] \kappa(2,0)=\gamma(t)=0+r*e^{it}=2e^{it} [/mm] für [mm] t\in[0,2\pi] [/mm]
Dann brauch ich ja noch die Ableitung: [mm] \gamma'(t)=2ie^{it} [/mm]
Jetzt benutze ich folgende Formel: [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}
[/mm]
Damit erhalte ich: [mm] \integral_{\kappa(2,0)}^{}{\bruch{dz}{z^2-1}}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt}
[/mm]
So, an diesem Integral hab ich schon ganz viel rumsubstituiert, aber ich komme nicht weiter.
Partielle Integration hilft auch nicht, geschweige denn Partialbruchzerlegung...
In der Übung wurde wie folgt weitergerechnet:
[mm] =\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}}*2ie^{it} dt}+\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i\phi}*e^{2i\pi}-1}*2ie^{i\phi}*e^{i\pi} d\phi}=0 [/mm] mit [mm] \phi+\pi=t
[/mm]
Das kann ich absolut nicht nachvollziehen, weder die Integral-Teilung noch die Null am Ende ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kann mir das jemand erklären?
Bzw. gibt es einen anderen (evtl. leichteren) Weg dieses Integral zu lösen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Fr 04.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Berechne [mm]\integral_{\kappa(2,0)}^{}{\bruch{dz}{z^2-1}}[/mm] ,
> wobei [mm]\kappa(2,0)[/mm] die in positiver Richtung durchlaufene
> Kreislinie vom Radius 2 um Mittelpunkt 0 ist.
> Hallo zusammen!
>
>
>
> Ich soll das Integral da oben berechnen.
>
> Um das Wegintegral zu bestimmen, muss ich den Weg
> [mm]\kappa(2,0)[/mm] ja erstmal als Funktion ausdrücken, oder?
>
> Also [mm]\kappa(2,0)=\gamma(t)=0+r*e^{it}=2e^{it}[/mm] für
> [mm]t\in[0,2\pi][/mm]
>
> Dann brauch ich ja noch die Ableitung: [mm]\gamma'(t)=2ie^{it}[/mm]
>
> Jetzt benutze ich folgende Formel:
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}[/mm]
>
> Damit erhalte ich:
> [mm]\integral_{\kappa(2,0)}^{}{\bruch{dz}{z^2-1}}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt}[/mm]
>
> So, an diesem Integral hab ich schon ganz viel
> rumsubstituiert, aber ich komme nicht weiter.
>
> Partielle Integration hilft auch nicht, geschweige denn
> Partialbruchzerlegung...
>
> In der Übung wurde wie folgt weitergerechnet:
>
> [mm]=\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}}*2ie^{it} dt}+\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i\phi}*e^{2i\pi}-1}*2ie^{i\phi}*e^{i\pi} d\phi}=0[/mm]
> mit [mm]\phi+\pi=t[/mm]
Da muss aber im ersten Integral noch ein "-1" zusätzlich im Nenner stehen!
> Das kann ich absolut nicht nachvollziehen, weder die
> Integral-Teilung noch die Null am Ende
Die Integralteilung ist ganz einfach: die Integration von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] wird zerlegt in das Integral von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] und das Integral von [mm] $\pi$ [/mm] bis [mm] $2\pi$ [/mm] und dann im zweiten Integral [mm] $t=\phi+\pi$ [/mm] substituiert:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} = \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{\pi}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i(\phi+\pi)}-1}*2ie^{i(\phi+\pi)} d\phi}[/mm]
[mm] = \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i\phi}*e^{2i\pi}-1}*2ie^{i\phi}*e^{i\pi} d\phi}[/mm]
Jetzt setzt du nur noch [mm] $e^{2i\pi}=1$ [/mm] und [mm] $e^{i\pi}=-1$ [/mm] ein.
> Bzw. gibt es einen anderen (evtl. leichteren) Weg dieses
> Integral zu lösen?
Partialbruchzerlegung und die beiden entstehenden Integrale mit der Cauchyschen Integralformel ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine Hilfe. Damit bin ich (fast) auf das Ergebnis gekommen. Ein paar Fragen zu dem Ganzen hab ich noch:
> Die Integralteilung ist ganz einfach: die Integration von 0
> bis [mm]2\pi[/mm] wird zerlegt in das Integral von 0 bis [mm]\pi[/mm] und das
> Integral von [mm]\pi[/mm] bis [mm]2\pi[/mm]
Wie komme ich auf die Idee, das Integral in zwei Integrale zu zerlegen?
> und dann im zweiten Integral
> [mm]t=\phi+\pi[/mm] substituiert:
Warum substituiere ich gerade im zweiten Integral? Warum wähle ich gerade diese Substitution?
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} = \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{\pi}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i(\phi+\pi)}-1}*2ie^{i(\phi+\pi)} d\phi}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i\phi}*e^{2i\pi}-1}*2ie^{i\phi}*e^{i\pi} d\phi}[/mm]
Ich weiß nicht, wie die Berechnung der neuen Grenzen funktioniert. Ich habe es bei einer anderen Substitutionsaufgabe einfach gemacht wie "immer", d.h. ich hab die alten Grenzen einfach in meine Substitutionsvorschrift eingesetzt. Mein Tutor hat dann gesagt, dass geht so nicht, weil wir mit Kurvenintegralen arbeiten. Wie man es aber machen muss, haben wir nicht besprochen ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 17.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
>
>
> Vielen Dank für deine Hilfe. Damit bin ich (fast) auf das
> Ergebnis gekommen. Ein paar Fragen zu dem Ganzen hab ich
> noch:
>
> > Die Integralteilung ist ganz einfach: die Integration von 0
> > bis [mm]2\pi[/mm] wird zerlegt in das Integral von 0 bis [mm]\pi[/mm] und das
> > Integral von [mm]\pi[/mm] bis [mm]2\pi[/mm]
>
> Wie komme ich auf die Idee, das Integral in zwei Integrale
> zu zerlegen?
Gute Frage; darauf gibt's keine allgemeine Antwort. Hier nur dieser Hinweis: im Integranden steht nur [mm] $z^2$, [/mm] also nur eine gerade Potenz von z. Das heisst: wenn z den Kreis vom Radius 2 um 0 durchläuft, durchläuft [mm] z^2 [/mm] einen Kreis vom Radius 4 um 0 zweimal. Das legt es nahe, die beiden Durchläufe getrennt zu betrachten, was du hier tust, indem du das Kurvenintegral aufteilst.
>
> > und dann im zweiten Integral
> > [mm]t=\phi+\pi[/mm] substituiert:
>
> Warum substituiere ich gerade im zweiten Integral? Warum
> wähle ich gerade diese Substitution?
Das ist wieder so ein Trick, der in bestimmten Fällen funktioniert.
Da dein Kurvenintegral über eine Kreislinie geht, bedeutet die Verschiebung um [mm] $\pi$ [/mm] eine Drehung um [mm] $\pi$, [/mm] also [mm] $180^\circ$, [/mm] womit die beiden Hälften der Kreislinie zur Deckung gebracht werden.
Das das gut funktioniert, liegt daran, dass im Integranden des Integrals die Integrationsvariable nur im Exponenten der e-Funktion steht und daher höchsten ein Vorzeichen beiträgt.
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} = \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{\pi}^{2\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt}[/mm]
>
> >
> > [mm]= \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i(\phi+\pi)}-1}*2ie^{i(\phi+\pi)} d\phi}[/mm]
>
> >
> > [mm]= \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2it}-1}*2ie^{it} dt} + \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{4e^{2i\phi}*e^{2i\pi}-1}*2ie^{i\phi}*e^{i\pi} d\phi}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie die Berechnung der neuen Grenzen
> funktioniert. Ich habe es bei einer anderen
> Substitutionsaufgabe einfach gemacht wie "immer", d.h. ich
> hab die alten Grenzen einfach in meine
> Substitutionsvorschrift eingesetzt. Mein Tutor hat dann
> gesagt, dass geht so nicht, weil wir mit Kurvenintegralen
> arbeiten. Wie man es aber machen muss, haben wir nicht
> besprochen
Eigentlich funktioniert das Ersetzen der Grenzen bei Substitution immer gleich: wenn im Integral $z=g(u)$ substituierst:
[mm] \integral_a^b f(z) dz = \integral_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(u)) g'(u) du [/mm]
ist die neue untere (obere) Grenze der Wert $a'$ ($b'$) für die neue Integrationsvariable u, für den $g(a')=a$ ($g(b')=b$) ist, also [mm] $a'=g^{-1}(a)$ [/mm] ($ [mm] b'=g^{-1}(b)$).
[/mm]
Das überträgt sich auf das Kurvenintegral; dort entspricht die Substitution einem Wechsel der Parametrisierung der Kurve. Du musst nach der Substitution genauso die neuen Werte [mm] $a'=g^{-1}(a)$ [/mm] bzw. [mm] $b'=g^{-1}(b)$ [/mm] einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Gute Frage; darauf gibt's keine allgemeine Antwort. Hier
> nur dieser Hinweis: im Integranden steht nur [mm]z^2[/mm], also nur
> eine gerade Potenz von z. Das heisst: wenn z den Kreis vom
> Radius 2 um 0 durchläuft, durchläuft [mm]z^2[/mm] einen Kreis vom
> Radius 4 um 0 zweimal. Das legt es nahe, die beiden
> Durchläufe getrennt zu betrachten, was du hier tust, indem
> du das Kurvenintegral aufteilst.
Hmm, warum durchläuft z den Kreis? Durchläuft nicht eher t den Kreis, die Parametriesierung der Kurve lautet doch [mm] \gamma(t)=2e^{it} [/mm] für [mm] t\in[0,2\pi]. [/mm] Aus der Form könnt ich auch eher die Anzahl der Umläufe und den Radius ablesen. Wenn ich dann ja [mm] 4e^{2it} [/mm] habe, dann gibt doch die Zahl vor dem e den Radius und die Zahl vor dem i (im Exponenten) die Anzahl der Umläufe an, oder (warum?)?
> Das ist wieder so ein Trick, der in bestimmten Fällen
> funktioniert.
>
> Da dein Kurvenintegral über eine Kreislinie geht, bedeutet
> die Verschiebung um [mm]\pi[/mm] eine Drehung um [mm]\pi[/mm], also
> [mm]180^\circ[/mm], womit die beiden Hälften der Kreislinie zur
> Deckung gebracht werden.
>
> Das das gut funktioniert, liegt daran, dass im Integranden
> des Integrals die Integrationsvariable nur im Exponenten
> der e-Funktion steht und daher höchsten ein Vorzeichen
> beiträgt.
Bedeutet das, dass ich die Integrale zur Deckung bringen möchte, damit sie sich aufheben?
> Eigentlich funktioniert das Ersetzen der Grenzen bei
> Substitution immer gleich: wenn im Integral [mm]z=g(u)[/mm]
> substituierst:
>
> [mm]\integral_a^b f(z) dz = \integral_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(u)) g'(u) du[/mm]
>
> ist die neue untere (obere) Grenze der Wert [mm]a'[/mm] ([mm]b'[/mm]) für die
> neue Integrationsvariable u, für den [mm]g(a')=a[/mm] ([mm]g(b')=b[/mm]) ist,
> also [mm]a'=g^{-1}(a)[/mm] ([mm] b'=g^{-1}(b)[/mm]).
>
> Das überträgt sich auf das Kurvenintegral; dort entspricht
> die Substitution einem Wechsel der Parametrisierung der
> Kurve. Du musst nach der Substitution genauso die neuen
> Werte [mm]a'=g^{-1}(a)[/mm] bzw. [mm]b'=g^{-1}(b)[/mm] einsetzen.
Also wenn ich das jetzt richtig sehe, dann berechnest du die neuen Grenzen über die Umgehrfunktion der Substitutionsgleichung? Wir haben das damals in der Schule (soweit ich mich erinnern kann) immer genua anders rum gemacht. Oder les ich deine Integralgleichung nur falsch herum? Ist [mm] \integral_a^b [/mm] f(z) dz das Integral in dem du substituieren willst, oder ist das dass bereits fertig substituierte Integral?
[Es tut mir ganz furchtbar Leid, dass ich hier noch so oft Fragen stelle, ich hab mit dem ganzen Thema immer noch ein paar Probleme ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]") ]
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Do 14.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Gute Frage; darauf gibt's keine allgemeine Antwort. Hier
> > nur dieser Hinweis: im Integranden steht nur [mm]z^2[/mm], also nur
> > eine gerade Potenz von z. Das heisst: wenn z den Kreis vom
> > Radius 2 um 0 durchläuft, durchläuft [mm]z^2[/mm] einen Kreis vom
> > Radius 4 um 0 zweimal. Das legt es nahe, die beiden
> > Durchläufe getrennt zu betrachten, was du hier tust, indem
> > du das Kurvenintegral aufteilst.
>
> Hmm, warum durchläuft z den Kreis? Durchläuft nicht eher t
> den Kreis, die Parametriesierung der Kurve lautet doch
> [mm]\gamma(t)=2e^{it}[/mm] für [mm]t\in[0,2\pi].[/mm] Aus der Form könnt ich
> auch eher die Anzahl der Umläufe und den Radius ablesen.
Der Parameter t durchläuft keinen Kreis, sondern das Intervall [mm][0,2\pi][/mm]. (Betrachte t als die Angaben auf den Meilensteinen entlang der Kurve.) Du hast recht: Wenn t dieses Interval durchläuft, dann durchläuft [mm] $z=\gamma(t)=2e^it$ [/mm] alle Punkte des Kreises mit Radius 2 um 0.
> Wenn ich dann ja [mm]4e^{2it}[/mm] habe, dann gibt doch die Zahl vor
> dem e den Radius und die Zahl vor dem i (im Exponenten) die
> Anzahl der Umläufe an, oder (warum?)?
Richtig. [mm] $\gamma(t)^2=4e^{2it}$ [/mm] durchläuft zweimal den Kreis mit Radius 4 um 0. Der Radius sollte klar, sein, weil [mm] $|\gamma(t)^2|=4$. [/mm] Dass der Kreis zweimal durchlaufen wird, erkennst du, wenn du zu einem neuen Parameter $u=2t$ übergehst. Da er doppelt so groß wie t ist, muss er das Intervall [mm] $[0,4\pi]$ [/mm] durchlaufen, und
[mm] \gamma(t)^2=4e^{2it} = 4e^{iu} [/mm]
Daran siehst du, dass für [mm] $u\in[0,2\pi]$ [/mm] der Kreis einmal durchlaufen wird, und für [mm] $u\in[2\pi,4\pi]$ [/mm] noch einmal.
> > Das ist wieder so ein Trick, der in bestimmten Fällen
> > funktioniert.
> >
> > Da dein Kurvenintegral über eine Kreislinie geht, bedeutet
> > die Verschiebung um [mm]\pi[/mm] eine Drehung um [mm]\pi[/mm], also
> > [mm]180^\circ[/mm], womit die beiden Hälften der Kreislinie zur
> > Deckung gebracht werden.
> >
> > Das das gut funktioniert, liegt daran, dass im Integranden
> > des Integrals die Integrationsvariable nur im Exponenten
> > der e-Funktion steht und daher höchsten ein Vorzeichen
> > beiträgt.
>
> Bedeutet das, dass ich die Integrale zur Deckung bringen
> möchte, damit sie sich aufheben?
Ja, das kannst du so sehen. Natürlich funktioniert das nicht immer.
> > Eigentlich funktioniert das Ersetzen der Grenzen bei
> > Substitution immer gleich: wenn im Integral [mm]z=g(u)[/mm]
> > substituierst:
> >
> > [mm]\integral_a^b f(z) dz = \integral_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(u)) g'(u) du[/mm]
>
> >
> > ist die neue untere (obere) Grenze der Wert [mm]a'[/mm] ([mm]b'[/mm]) für die
> > neue Integrationsvariable u, für den [mm]g(a')=a[/mm] ([mm]g(b')=b[/mm]) ist,
> > also [mm]a'=g^{-1}(a)[/mm] ([mm] b'=g^{-1}(b)[/mm]).
> >
> > Das überträgt sich auf das Kurvenintegral; dort entspricht
> > die Substitution einem Wechsel der Parametrisierung der
> > Kurve. Du musst nach der Substitution genauso die neuen
> > Werte [mm]a'=g^{-1}(a)[/mm] bzw. [mm]b'=g^{-1}(b)[/mm] einsetzen.
>
> Also wenn ich das jetzt richtig sehe, dann berechnest du
> die neuen Grenzen über die Umgehrfunktion der
> Substitutionsgleichung? Wir haben das damals in der Schule
> (soweit ich mich erinnern kann) immer genua anders rum
> gemacht. Oder les ich deine Integralgleichung nur falsch
> herum? Ist [mm]\integral_a^b[/mm] f(z) dz das Integral in dem du
> substituieren willst, oder ist das dass bereits fertig
> substituierte Integral?
Ich substituiere in [mm]\integral_a^b f(z) dz [/mm]. In der Schule schreibst du die Substitution meistens in der Form $u=h(z)$. Dann sind zwar die Grenzen einfach $h(a)$ und $h(b)$, aber du musst [mm] $f(h^{-1}(u))$ [/mm] und [mm] $(h^{-1}(u))'$ [/mm] einsetzen und dafür sowieso die Umkehrfunktion ausrechnen:
[mm]\integral_a^b f(z) dz = \integral_{h(a)}^{h(b)} f(h^{-1}(u)) (h^{-1}(u))' du = \integral_{h(a)}^{h(b)} \bruch{f(h^{-1}(u))}{h'(h^{-1}(u))} du[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 14.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Ich substituiere in [mm]\integral_a^b f(z) dz [/mm]. In der Schule
> schreibst du die Substitution meistens in der Form [mm]u=h(z)[/mm].
> Dann sind zwar die Grenzen einfach [mm]h(a)[/mm] und [mm]h(b)[/mm], aber du
> musst [mm]f(h^{-1}(u))[/mm] und [mm](h^{-1}(u))'[/mm] einsetzen und dafür
> sowieso die Umkehrfunktion ausrechnen:
>
> [mm]\integral_a^b f(z) dz = \integral_{h(a)}^{h(b)} f(h^{-1}(u)) (h^{-1}(u))' du = \integral_{h(a)}^{h(b)} \bruch{f(h^{-1}(u))}{h'(h^{-1}(u))} du[/mm]
Das mit der Substitution ist mir noch ein bisschen unklar. Ich kenne am ehesten die Formel, die man auch auf Wikipedia findet:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))+\phi'(x) dx}=\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(t) dt}
[/mm]
Da muss ich doch dann nur mein Ausgangsinetgral so umformen, dass ich von dem Term, den ich substituieren will, noch die Ableitung mit drin hab. Und dann kann ich die neuen Grenzen einfach durch einsetzen berechnen. Hier benutze ich doch nirgends eine Umkehrfunktion, oder?
Ich hab das jetzt mit den Grenzen einfach mal so probiert: Meine Substitutionsvorschrift lautet ja [mm] t=\phi+\pi [/mm] mit [mm] \phi [/mm] als neuer Variablen. Wenn ich nach der mal umstelle erhalte ich [mm] \phi=t-\pi. [/mm] Und wenn ich in diese Gleichung nun für t die alten Grenzen einsetze, erhalte ich genau die Grenzen, die ich brauche. Hier arbeite ich doch nirgends mit einer Umkehrfunktion, oder?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 14.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Ich substituiere in [mm]\integral_a^b f(z) dz [/mm]. In der Schule
> > schreibst du die Substitution meistens in der Form [mm]u=h(z)[/mm].
> > Dann sind zwar die Grenzen einfach [mm]h(a)[/mm] und [mm]h(b)[/mm], aber du
> > musst [mm]f(h^{-1}(u))[/mm] und [mm](h^{-1}(u))'[/mm] einsetzen und dafür
> > sowieso die Umkehrfunktion ausrechnen:
> >
> > [mm]\integral_a^b f(z) dz = \integral_{h(a)}^{h(b)} f(h^{-1}(u)) (h^{-1}(u))' du = \integral_{h(a)}^{h(b)} \bruch{f(h^{-1}(u))}{h'(h^{-1}(u))} du[/mm]
>
>
>
> Das mit der Substitution ist mir noch ein bisschen unklar.
> Ich kenne am ehesten die Formel, die man auch auf Wikipedia
> findet:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(\phi(x))+\phi'(x) dx}=\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(t) dt}[/mm]
Ich nehme an, das "+" ist ein Tippfehler und soll die Multiplikation bedeuten. 
Das sind alles verschiedene Formulierungen der Substitution. Einmal betrachtest du x als Funktion von t, im anderen Fall t als Funktion von x. Und bei den Grenzen nennst du einmal die Grenzen vor der Substitution a und b, im anderen Fall nach der Substitution.
Die Formel, die du da stehen hast, entspricht der aus meinem vorletzten Posting, nur mit anderen Bezeichnungen. Wenn ich deine übernehme, dann steht da:
[mm] \integral_a^b f(t) dt = \integral_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(u)) \phi'(u) du [/mm]
Siehst du den Unterschied: bei mir heissen die Grenzen nach der Substitution a und b, bei dir die vorher. Das ändert an der Rechnung überhaupt nichts; es ist nur die Frage, welche Form im konkreten Fall leichter anzuwenden ist.
> Da muss ich doch dann nur mein Ausgangsinetgral so
> umformen, dass ich von dem Term, den ich substituieren
> will, noch die Ableitung mit drin hab. Und dann kann ich
> die neuen Grenzen einfach durch einsetzen berechnen. Hier
> benutze ich doch nirgends eine Umkehrfunktion, oder?
>
> Ich hab das jetzt mit den Grenzen einfach mal so probiert:
> Meine Substitutionsvorschrift lautet ja [mm]t=\phi+\pi[/mm] mit [mm]\phi[/mm]
> als neuer Variablen. Wenn ich nach der mal umstelle erhalte
> ich [mm]\phi=t-\pi.[/mm] Und wenn ich in diese Gleichung nun für t
> die alten Grenzen einsetze, erhalte ich genau die Grenzen,
> die ich brauche. Hier arbeite ich doch nirgends mit einer
> Umkehrfunktion, oder?
Aber ja doch, denn [mm]\phi=t-\pi[/mm] ist die Umkehrfunktion zu [mm]t=\phi+\pi[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 14.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich denke, ich seh jetzt etwas klarer 
LG, Nadine
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Hattet ihr den ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz? Damit sollte das doch relativ einfach zu lösen sein...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo generation...x!
Wir haben den Residuensatz vor kurzen gemacht. Ich kann ihn allerdings noch nicht wirklich anwenden, weil ich mit der Berechnung der Residuen noch große Probleme habe.
Die Aufgabe stammt aber aus der Zeit, in der wir gerade mit den Kurvenintegralen angefangen haben, von daher soll sie dann doch schon ohne den Residuensatz berechnet werden.
LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 14.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo generation...x!
Ich habe jetzt einfach mal probiert, das Integral mit Hilfe des Residuensatzes zu berechnen.
Als erstes mal den Satz selber:
Ist [mm] U\subset\IC [/mm] offen, f eine Funktion, die auf U bis auf isolierte Singularitäten holomorph ist, dann gilt für jeden nullhomologen Zyklus [mm] \Gamma [/mm] in U, auf dessen Spur keine Singularität von f liegt: [mm] \integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2*\pi*i*\summe_{z\in U}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f) [/mm]
Ich hab erstmal eine Frage zu dem Satz. Die z, über die in der Summe summiert wird, sind das die isolierten Singularitäten? Woher weiß ich, was die Menge U ist? Und woher weiß ich, ob alle Singularitäten von f in U liegen, und nicht außerhalb davon?
So, nun mal zu meiner Berechnung. Die Singularitäten sind ja einfach nur Punkte, an denen die Funktion nicht definiert ist. Also erhalte ich als isolierte Singularitäten die Punkte 1 und -1 (die Nenner-Nullstellen). Ist das soweit richtig?
So, nun mal zur Berechnung des Residuums. Ich will sie mit dieser Formel hier lösen:
Ist g in einer Umgebung von a holomorph, und hat h dort eine Nullstelle 1. Ordnung, dann ist [mm] res_a(\bruch{g}{h})=\bruch{g(a)}{h'(a)} [/mm]
Jetzt das Residuum an der Stelle 1. Da [mm] f(\xi)=\bruch{1}{\xi^2-1} [/mm] ist [mm] g(\xi)=1 [/mm] und [mm] h(\xi)=\xi^2-1 [/mm] und damit [mm] h'(\xi)=2\xi. [/mm] Die konstante 1-Funktion ist in 1 holomorph und [mm] h(\xi)=\xi^2-1 [/mm] hat in 1 eine einfache Nullstelle (die Ordnung der Nullstelle ist doch das gleiche wie die Vielfachheit der Nullstelle, oder?) Damit kann ich diese Formel anwenden und erhalte: [mm] res_1(f)=\bruch{1}{2*1}=\bruch{1}{2}. [/mm] Analog erhalte ich für [mm] res_{-1}(f)=\bruch{1}{2*(-1)}=-\bruch{1}{2}. [/mm] Ist das soweit auch richtig?
So, nun zu den Umlaufszahlen. Da weiß ich nicht so ganz, wie ich die berechnen soll. In meinem Buch habe ich folgendes stehen:
Es sei [mm] \gamma(t)=z_0+re^{imt} [/mm] für [mm] 0\le t\le2\pi. [/mm] Dann ist [mm] n(\gamma,z_0)\underset{Defintion}{=}\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{d\xi}{\xi-z_0}}\underset{Wegintegral}{=}\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{imre^{imt}}{re^{imt}}dt}=m. [/mm] Im Falle m=1 liefert die Cauchy'sche Integralformel sofort [mm] n(\gamma,z)=1 [/mm] für [mm] z\in D_r(z_0). [/mm]
Im Grunde brauch ich davon ja nur den zweiten Teil. [mm] D_r(z_0) [/mm] ist ja in meinem Fall die Kreislinie um 0 mit Radius 2 und meine beiden Zahlen [mm] z_1=1 [/mm] und [mm] z_2=-1 [/mm] liegen beide da drin. Also sind die Umaufzahlen in beiden Fällen 1. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das wie vorgegeben mit der Cauchy'sche Integralformel berechnen sollte. Kannst du mir einen Tipp geben? Die erste Rechnung aus dem Satz verstehe ich.
So, damit kann ich ja nun das Integral berechnen: [mm] \integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2\pi i*\summe_{z\in U}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f)=2\pi i*(1*\bruch{1}{2}+1*\bruch{-1}{2})=2*\pi*i*0=0 [/mm]
Ist das so richtig gelöst?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 14.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ich habe jetzt einfach mal probiert, das Integral mit Hilfe
> des Residuensatzes zu berechnen.
> Als erstes mal den Satz selber:
>
> Ist [mm]U\subset\IC[/mm] offen, f eine Funktion, die auf U bis auf
> isolierte Singularitäten holomorph ist, dann gilt für jeden
> nullhomologen Zyklus [mm]\Gamma[/mm] in U, auf dessen Spur keine
> Singularität von f liegt: [mm]\integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2*\pi*i*\summe_{z\in U}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f)[/mm]
>
> Ich hab erstmal eine Frage zu dem Satz. Die z, über die in
> der Summe summiert wird, sind das die isolierten
> Singularitäten?
Ja.
> Woher weiß ich, was die Menge U ist?
Das ist zunächst einmal eine beliebige Menge (aber siehe etwas weiter unten)
> woher weiß ich, ob alle Singularitäten von f in U liegen,
> und nicht außerhalb davon?
Es müssen nicht alle Singularitäten in U liegen. Der Satz sagt aus, dass nur diejenigen in U eine Beitrag leisten.
Genauer: da der Zyklus [mm] $\Gamma$ [/mm] nullhomolog in U ist, liegen alle Punkte, deren Windungszahl ungleich 0 ist, in U.
Aber ich finde, diese allgemeine Formulierung verstellt den Blick aufs Wesentliche. Ich finde es einfacher, statt eines beliebigen nullhomologen Zyklus zunächst eine geschlossene Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] zu betrachten, und als U die von [mm] $\gamma$ [/mm] eingeschlossene Teilmenge von [mm] $\IC$.
[/mm]
Dann ist nämlich [mm] $n(\gamma,z)$ [/mm] für alle [mm] $z\in [/mm] U$ gleich, und die Formel wird viel einfacher. Wenn wir dann noch annehmen, dass [mm] $\gamma$ [/mm] die Menge U nur einmal umläuft, dann ist sogar [mm] $n(\gamma,z)=1$ [/mm] für alle [mm] $z\in [/mm] U$, und es ergibt sich der Satz in einer für die meisten Integrale völlig ausreichenden Form:
[mm]\integral_{\gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2*\pi*i*\summe_{z\in U}^{}\mathop{\mathrm{Res}}\limits_z(f)[/mm].
(Große Klammer auf:
Wenn man eine beliebige geschlossene Kurve in einer Menge U betrachtet, dann ist die Windungszahl aller Punkte außerhalb der Kurve gleich 0.
Ein nullhomologer Zyklus in U ist die formale Summe solcher geschlossener Kurven in U.
Wenn du diese beiden Verallgemeinerungen zusammennimmst, kommst du auf die allgemeine Formulierung.
Große Klammer zu)
> So, nun mal zu meiner Berechnung. Die Singularitäten sind
> ja einfach nur Punkte, an denen die Funktion nicht
> definiert ist.
Genauer gesagt: isolierte Punkte, um die herum die Funktion holomorph ist.
(Noch 'ne Klammer:
Zur Demonstration schau dir die Funktion $f(z) = [mm] \bruch{\sin z}{z}$ [/mm] an. Die ist überall in [mm] $\IC$ [/mm] definiert und holomorph außer in z=0. Diese Singularität ist aber hebbar, denn ich kann den Limes für [mm] $z\to0$ [/mm] bilden und eine neue Funktion definieren:
[mm] f(z) = \begin{cases} \bruch{\sin z}{z} & z\not=0 \\ 1 & z= 0 \end{cases} [/mm]
Die ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph.
Im Gegensatz dazu ist $f(z) = [mm] \bruch{\sin z}{z^2}$ [/mm] zwar auch überall in [mm] $\IC$ [/mm] definiert und holomorph außer in z=0, aber die Singularität ist nicht hebbar.
Klammer zu)
> Also erhalte ich als isolierte
> Singularitäten die Punkte 1 und -1 (die
> Nenner-Nullstellen). Ist das soweit richtig?
Ja.
> So, nun mal zur Berechnung des Residuums. Ich will sie mit
> dieser Formel hier lösen:
>
> Ist g in einer Umgebung von a holomorph, und hat h dort
> eine Nullstelle 1. Ordnung, dann ist
> [mm]res_a(\bruch{g}{h})=\bruch{g(a)}{h'(a)}[/mm]
>
> Jetzt das Residuum an der Stelle 1. Da
> [mm]f(\xi)=\bruch{1}{\xi^2-1}[/mm] ist [mm]g(\xi)=1[/mm] und [mm]h(\xi)=\xi^2-1[/mm]
> und damit [mm]h'(\xi)=2\xi.[/mm] Die konstante 1-Funktion ist in 1
> holomorph und [mm]h(\xi)=\xi^2-1[/mm] hat in 1 eine einfache
> Nullstelle (die Ordnung der Nullstelle ist doch das gleiche
> wie die Vielfachheit der Nullstelle, oder?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit kann ich
> diese Formel anwenden und erhalte:
> [mm]res_1(f)=\bruch{1}{2*1}=\bruch{1}{2}.[/mm] Analog erhalte ich
> für [mm]res_{-1}(f)=\bruch{1}{2*(-1)}=-\bruch{1}{2}.[/mm] Ist das
> soweit auch richtig?
> So, nun zu den Umlaufszahlen. Da weiß ich nicht so ganz,
> wie ich die berechnen soll. In meinem Buch habe ich
> folgendes stehen:
>
> Es sei [mm]\gamma(t)=z_0+re^{imt}[/mm] für [mm]0\le t\le2\pi.[/mm] Dann ist
> [mm]n(\gamma,z_0)\underset{Defintion}{=}\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{d\xi}{\xi-z_0}}\underset{Wegintegral}{=}\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{imre^{imt}}{re^{imt}}dt}=m.[/mm]
> Im Falle m=1 liefert die Cauchy'sche Integralformel sofort
> [mm]n(\gamma,z)=1[/mm] für [mm]z\in D_r(z_0).[/mm]
>
> Im Grunde brauch ich davon ja nur den zweiten Teil.
> [mm]D_r(z_0)[/mm] ist ja in meinem Fall die Kreislinie um 0 mit
> Radius 2 und meine beiden Zahlen [mm]z_1=1[/mm] und [mm]z_2=-1[/mm] liegen
> beide da drin. Also sind die Umaufzahlen in beiden Fällen
> 1. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das wie vorgegeben
> mit der Cauchy'sche Integralformel berechnen sollte. Kannst
> du mir einen Tipp geben? Die erste Rechnung aus dem Satz
> verstehe ich.
Schau mal hier, da ist das anschaulich schön dargestellt.
Eigentlich brauchst du das gar nicht, denn dein Integrationsweg ist eine einfache geschlossene Kurve. Wie dein Buch es so schön sagt, kommt für die Punkte im Inneren der Kurve die Windungszahl 1, für die Punkte außerhalb der Kurve die Windungszahl 0 heraus.
Deswegen kann man für diesen typischen Fall einfach sagen: Betrachte nur die Singularitäten im Inneren der Kurve, berechne die Residuen und summiere sie auf!
> So, damit kann ich ja nun das Integral berechnen:
> [mm]\integral_{\Gamma}^{}{f(\xi) d\xi}=2\pi i*\summe_{z\in U}^{}n(\Gamma,z)*res_z(f)=2\pi i*(1*\bruch{1}{2}+1*\bruch{-1}{2})=2*\pi*i*0=0[/mm]
> Ist das so richtig gelöst?
Viele Grüße
Rainer
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