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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 21.12.2010 | | Autor: | Cocojack |
| Aufgabe | Integrieren sie:
e^(ax)*cos(bx) dx
indem sie Wiknelfunktionen durch komplexe Exponentialfunktionen ersetzten |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie löse ich dieses Integral?
Ich habe versucht:
dem cos(bx) einem imaginären anteil zu versehen
==> [mm] \integral_{}^{}{e^{ax} * (cos(bx)*j(sin(bx))) dx}
[/mm]
mit partialintegration
[mm] u'=e^{ax} [/mm] ; [mm] u=\bruch{1}{a} [/mm] * [mm] e^{ax}
[/mm]
v=cos(bx)+j(sin(bx)) v'= - sin(bx)*b+ .......
da wusste ich dann nicht mehr weiter,..
danach habe ich versucht cos(bx) in [mm] e^{j(bx)} [/mm] umzuformen.. aber da bin ich mir noch weniger sicher, da ich die Lösung kenne :
[mm] \bruch{e^{ax}}{ a^2+b^2} [/mm] [a*cos(bx)+b*sin(bx] + C
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Hallo Cocojack,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Integrieren sie:
>
> e^(ax)*cos(bx) dx
>
> indem sie Wiknelfunktionen durch komplexe
> Exponentialfunktionen ersetzten
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie löse ich dieses Integral?
>
> Ich habe versucht:
>
> dem cos(bx) einem imaginären anteil zu versehen
>
> ==> [mm]\integral_{}^{}{e^{ax} * (cos(bx)*j(sin(bx))) dx}[/mm]
Das soll doch hier so lauten:
[mm]\integral_{}^{}{e^{ax} * (cos(bx)\blue{+}j(sin(bx))) dx}[/mm]
> mit
> partialintegration
>
> [mm]u'=e^{ax}[/mm] ; [mm]u=\bruch{1}{a}[/mm] * [mm]e^{ax}[/mm]
> v=cos(bx)+j(sin(bx)) v'= - sin(bx)*b+ .......
>
> da wusste ich dann nicht mehr weiter,..
>
> danach habe ich versucht cos(bx) in [mm]e^{j(bx)}[/mm] umzuformen..
> aber da bin ich mir noch weniger sicher, da ich die Lösung
> kenne :
>
> [mm]\bruch{e^{ax}}{ a^2+b^2}[/mm] [a*cos(bx)+b*sin(bx] + C
Anstatt das Integral
[mm]\integral_{}^{}{e^{ax} * cos(bx) \ dx}[/mm]
zu berechnest Du das Integral
[mm]\integral_{}^{}{e^{ax} *e ^{j*b*x} \ dx}=\integral_{}^{}{e^{\left(a+j*b\right)x} \ dx}[/mm]
Der Realteil dieses Integrals ist dann Lösung von
[mm]\integral_{}^{}{e^{ax} * cos(bx) \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 21.12.2010 | | Autor: | Cocojack |
wenn ich jetzt
[mm] \integral_{}^{}{e^{x(a+jb)}} [/mm] mache
dann komme ich auf
[mm] e^{(a+jb)x} [/mm] * [mm] \bruch{a-jb}{a^2+b^2}
[/mm]
dann müsste ich aus a-jb die Trigonomische form machen und käme dann auf
(ab hier wird es glaube ich falsch)
[mm] e^{(a+jb)x} [/mm] * [mm] \bruch{cos(a)+jsin(b)}{a^2+b^2}
[/mm]
der realanteil wäre dann ja
(und hier noch "fälscher")
[mm] e^{ax} [/mm] * [mm] \bruch{cos(a)+sin(b)}{a^2+b^2}
[/mm]
bzw
[mm] \bruch{e^{ax}}{a^2+b^2} [/mm] * [cos(a)+sin(b)]
wo kommt dann das a und das b vor cos und sin her (und das bx) ? (bezogen auf die musterlösung)
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Hallo Cocojack,
> wenn ich jetzt
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> [mm]\integral_{}^{}{e^{x(a+jb)}}[/mm] mache
>
> dann komme ich auf
>
> [mm]e^{(a+jb)x}[/mm] * [mm]\bruch{a-jb}{a^2+b^2}[/mm]
Schreibe jetzt statt
[mm]e^{(a+jb)x}[/mm]
[mm]e^{ax}*\left( \ \cos\left(bx\right)+j*\sin\left(b*x\right) \ \right)[/mm]
und multipliziere dann den Ausdruck
[mm]e^{ax}*\left( \ \cos\left(bx\right)+j*\sin\left(b*x\right) \ \right)*\bruch{a-jb}{a^2+b^2}[/mm]
aus.
>
> dann müsste ich aus a-jb die Trigonomische form machen und
> käme dann auf
>
> (ab hier wird es glaube ich falsch)
>
> [mm]e^{(a+jb)x}[/mm] * [mm]\bruch{cos(a)+jsin(b)}{a^2+b^2}[/mm]
>
> der realanteil wäre dann ja
> (und hier noch "fälscher")
> [mm]e^{ax}[/mm] * [mm]\bruch{cos(a)+sin(b)}{a^2+b^2}[/mm]
>
> bzw
>
> [mm]\bruch{e^{ax}}{a^2+b^2}[/mm] * [cos(a)+sin(b)]
>
> wo kommt dann das a und das b vor cos und sin her (und das
> bx) ? (bezogen auf die musterlösung)
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Cocojack |
ah ok, darauf wäre ich heute Abend nicht mehr gekommen..
dankeschön :=)
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