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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] $\int_{|z|=2}{\bruch{1}{z^{4}-1}\ dz}$ [/mm] |
Hallo!
Ich wollte gern meine Lösung von euch korrigiert haben und habe noch eine Frage dazu.
Die Integrandenfunktion $f(z) = [mm] \bruch{1}{z^{4}-1}$ [/mm] ist ja holomorph, hat aber mehrere Singularitäten. Es soll über eine geschlossene Kurve integriert werden. Also bietet sich der Residuensatz an:
[mm] $\int_{|z|=2}{\bruch{1}{z^{4}-1}\ dz} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*\Big(Res(f,1) [/mm] + Res(f,-1) + Res(f,i) + [mm] Res(f,-i)\Big)$
[/mm]
Es ist
$Res(f,1) = [mm] \lim_{z\to 1}(z-1)*f(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
$Res(f,-1) = [mm] \lim_{z\to 1}(z-1)*f(z) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}$
[/mm]
$Res(f,i) = [mm] \lim_{z\to 1}(z-1)*f(z) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4*i}$
[/mm]
$Res(f,i) = [mm] \lim_{z\to 1}(z-1)*f(z) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4*i},$
[/mm]
also
[mm] $\int_{|z|=2}{\bruch{1}{z^{4}-1}\ dz} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*\Big(Res(f,1) [/mm] + Res(f,-1) + Res(f,i) + [mm] Res(f,-i)\Big) [/mm] = [mm] 2*\pi*i*\left(-\bruch{1}{2*i}\right) [/mm] = [mm] -\pi$.
[/mm]
Nun noch zu meinen Fragen:
- 1. Stimmt das oben Gerechnete?
- 2. Die Aufgabe entstammt einem Übungsblatt zu einer Vorlesung (Funktionentheorie). Wir sind mittlerweile schon mindestens beim Cauchyschen Integralsatz / Integralformel. Hat man dann normalerweise auch schon den Residuensatz gehabt (bzw. kommt das direkt danach)? Ich war nämlich in den letzten beiden Vorlesungen nicht und weiß deswegen nicht, ob man das schon benutzen darf. Wie würde man alternativ vorgehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo.
Der Residuensatz ist in gewisser Weise eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel.
Ich gehe davon aus, dass man für gewöhnlich den Residuensatz nach C.IF. behandelt.
Noch was, deine Funktion ist nicht holomorph.Hat schließlich Singulariäten.
Soweit ich es erblicke ist deine Rechnung richtig.
Grüße Elvis.
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Ok, danke für deine Antwort!
Grüße, Stefan.
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