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Komplexes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 So 04.11.2012
Autor: Richie1401

Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes jeweils das Integral [mm] \int_{C}\frac{1}{1+z^2}dz [/mm] wenn bei positiver Orientierung von C gilt:

a) [mm] C=\partial U_1(i) [/mm]

b) [mm] C=\partial U_1(-i) [/mm]

c) [mm] C=\partial U_2(0) [/mm]

(Hinweis: Zerlegung des Integranden in Partialbrüche.)

Guten Morgen,

ich habe zunächst den Hinweis befolgt und den Integranden wie folgt zerlegt:

[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz [/mm]

Nun zur Teilaufgabe a)
[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz [/mm]

[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right) [/mm]


[mm] =\frac{i}{2}(0-2\pi{}i) [/mm]

[mm] =\pi [/mm]

Das 0 und [mm] 2\pi{}i [/mm] bei den Integralen herauskommt, folgere ich aus dem Cauchyschen Integralsatz und aus der Integralformel.

Teilaufgabe b)
[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz [/mm]

[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right) [/mm]

[mm] =\frac{i}{2}(2\pi{}i-0) [/mm]

[mm] =-\pi [/mm]


Teilaufgabe c)
[mm] \frac{i}{2}\int_{|z|=2}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz [/mm]

[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-i}\right) [/mm]

[mm] =\frac{i}{2}(2\pi{}i-2\pi{}i) [/mm]

$=0$

Meine Frage:
Sind die Berechnungen korrekt, oder habe ich fundamentale Fehler gemacht?

Ich danke Euch.

Beste Grüße und schönen Sonntag!

        
Bezug
Komplexes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 So 04.11.2012
Autor: fred97


> Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes
> jeweils das Integral [mm]\int_{C}\frac{1}{1+z^2}dz[/mm] wenn bei
> positiver Orientierung von C gilt:
>  
> a) [mm]C=\partial U_1(i)[/mm]
>  
> b) [mm]C=\partial U_1(-i)[/mm]
>  
> c) [mm]C=\partial U_2(0)[/mm]
>  
> (Hinweis: Zerlegung des Integranden in Partialbrüche.)
>  Guten Morgen,
>  
> ich habe zunächst den Hinweis befolgt und den Integranden
> wie folgt zerlegt:
>  
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>  
> Nun zur Teilaufgabe a)
>  
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>  
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>  
>
> [mm]=\frac{i}{2}(0-2\pi{}i)[/mm]
>  
> [mm]=\pi[/mm]
>  
> Das 0 und [mm]2\pi{}i[/mm] bei den Integralen herauskommt, folgere
> ich aus dem Cauchyschen Integralsatz und aus der
> Integralformel.
>  
> Teilaufgabe b)
>  
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>  
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>  
> [mm]=\frac{i}{2}(2\pi{}i-0)[/mm]
>  
> [mm]=-\pi[/mm]
>  
>
> Teilaufgabe c)
>  
> [mm]\frac{i}{2}\int_{|z|=2}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>  
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>  
> [mm]=\frac{i}{2}(2\pi{}i-2\pi{}i)[/mm]
>  
> [mm]=0[/mm]
>  
> Meine Frage:
>  Sind die Berechnungen korrekt, oder habe ich fundamentale
> Fehler gemacht?

Alles bestens !


>  
> Ich danke Euch.
>  
> Beste Grüße und schönen Sonntag!


Ebenso FRED


Bezug
                
Bezug
Komplexes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 So 04.11.2012
Autor: Richie1401

Ich danke dir vielmals Fred.

Komplexe Integrale bereiten mir, seltsamerweise, ein paar Schwierigkeiten. Ich muss mich damit erst anfreunden...


Grüße

Bezug
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