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| Aufgabe | Seien [mm] z_{1},z_{2},z_{3} \varepsilon \IC [/mm] mit:
[mm] z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 [/mm] und [mm] |z_{1}|=|z_{2}|=|,z_{3}|=1.
[/mm]
Zeigen sie, das die Pukte in der Gaußschen Zahlenebene ein gleichseitiges Dreieck bilden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gute Tag!
Also ich hab schon gemerkt das man in der Paar-SChreibweiße wohl nicht weiter kommt. IN der Polardarstellung kommt man ja schnell auf folgende Gleichungen:
[mm] cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)=0
[/mm]
[mm] sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=0
[/mm]
Wobei die 3 winkel je ein Winkel von einer Komplexen Zahl ist.
Kann man nun sagen wir legen einfach eine Lösung auf
[mm] \alpha=0. [/mm] Da das Dreieck gleichseitig ist müssen die anderen zwei punkte gleichweit von dem ersten entfertn sein, also ist [mm] \beta=-\gamma
[/mm]
Also hat man mit [mm] \alpha=0:
[/mm]
[mm] cos(\beta)+cos(\gamma)=-1
[/mm]
[mm] sin(\beta)+sin(\gamma)=0
[/mm]
und weiter:
[mm] cos(\beta)+cos(-\beta)=-1
[/mm]
[mm] sin(-\gamma)+sin(\gamma)=0
[/mm]
Stimmen die gleichungen nicht?
Oder wie macht man nun weiter? Oder muss man doch anders herran gehen?
Danke schonmal im vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Denwid |
Doch, die Gleichungen stimmen. Und du hast ja alpha = 0 gesetzt, also ist die Anfangsbedingung erfüllt (sowohl der Realteil - mit cos - als auch der Imaginärteil - mit sin - ist gleich Null, also ist die Komplexe Zahl gleich Null). Ist man damit nicht schon (irgendwie) fertig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 17.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo denwid, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist nicht richtig:
> Doch, die Gleichungen stimmen. Und du hast ja alpha = 0
> gesetzt, also ist die Anfangsbedingung erfüllt (sowohl der
> Realteil - mit cos - als auch der Imaginärteil - mit sin -
> ist gleich Null, also ist die Komplexe Zahl gleich Null).
[mm] \cos{0}=1, [/mm] der Realteil ist also 1.
> Ist man damit nicht schon (irgendwie) fertig?
Nein, bestimmt nicht.
Grüße
reverend
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Hallo Physiker010,
der Anfang ist gut...
> Seien [mm]z_{1},z_{2},z_{3} \varepsilon \IC[/mm] mit:
>
> [mm]z_{1}+z_{2}+z_{3}=0[/mm] und [mm]|z_{1}|=|z_{2}|=|,z_{3}|=1.[/mm]
>
> Zeigen sie, das die Pukte in der Gaußschen Zahlenebene ein
> gleichseitiges Dreieck bilden.
>
> Gute Tag!
>
> Also ich hab schon gemerkt das man in der
> Paar-SChreibweiße wohl nicht weiter kommt. IN der
> Polardarstellung kommt man ja schnell auf folgende
> Gleichungen:
Etwas mehr Mühe oder Sorgfalt beim Tippen wäre nett.
> [mm]cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)=0[/mm]
> [mm]sin(\alpha)+sin(\beta)+sin(\gamma)=0[/mm]
>
> Wobei die 3 winkel je ein Winkel von einer Komplexen Zahl
> ist.
Ja, bis hierhin stimmts.
> Kann man nun sagen wir legen einfach eine Lösung auf
> [mm]\alpha=0.[/mm]
Natürlich nicht. Du sollst das zeigen, ohne auch nur eine der Zahlen zu kennen. Mit der Festlegung auf [mm] \alpha=0 [/mm] müsstest Du aber wissen, dass diese Zahl rein reell ist.
> Da das Dreieck gleichseitig ist müssen die
> anderen zwei punkte gleichweit von dem ersten entfertn
> sein, also ist [mm]\beta=-\gamma[/mm]
>
> Also hat man mit [mm]\alpha=0:[/mm]
> [mm]cos(\beta)+cos(\gamma)=-1[/mm]
> [mm]sin(\beta)+sin(\gamma)=0[/mm]
> und weiter:
> [mm]cos(\beta)+cos(-\beta)=-1[/mm]
> [mm]sin(-\gamma)+sin(\gamma)=0[/mm]
>
> Stimmen die gleichungen nicht?
Das hier kannst Du also alles nicht verwenden, es sei denn, Du kannst zeigen, dass das System invariant gegenüber jeder Drehung ist. Das ist aber eher mühsam.
> Oder wie macht man nun weiter? Oder muss man doch anders
> herran gehen?
Das gesuchte Ergebnis sieht doch sehr danach aus, als wäre die  Moivre-Formel nützlich.
Um die zu benutzen, musst Du aus den gegebenen Informationen eine Aussage über [mm] z_1^3, z_2^3 [/mm] und [mm] z_3^3 [/mm] gewinnen.
Alternativ kannst Du aber auch unter Zuhilfenahme von ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen betrachten, wie Deine drei Zahlen sich bei der Multiplikation verhalten.
Was weißt Du über die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinatendarstellung?
> Danke schonmal im vorraus
Hm. Scheint ein Grundsatzfehler zu sein. "voraus" und "heraus", "voran", "heran", "herein" etc. schreibt man alle nur mit einem r.
Grüße
reverend
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Also die Moivre-Formel ist mir schon bekannt. Hab eben schon ein paar komplexe Wurzeln gezogen. Wie die Multiplikation funktioniert weiß ich auch und ich habe schon erkannt das sie nichts anderes als eine Drehung des Punktes ist.
Also hab ich:
[mm] |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1
[/mm]
[mm] \wurzel{z_{1}*\overline{z_{1}}}=\wurzel{z_{2}*\overline{z_{2}}}=\wurzel{z_{3}*\overline{z_{3}}}=1
[/mm]
[mm] z_{1}^{3}*\overline{z_{1}}^{3}=z_{2}^{3}*\overline{z_{2}}^{3}=z_{3}^{3}*\overline{z_{3}}^{3}=1^{4}
[/mm]
Also:
[mm] z_{1}^{3}=\bruch{z_{2}^{3}*\overline{z_{2}}^{3}}{\overline{z_{1}}^{3}}=\bruch{z_{3}^{3}*\overline{z_{3}}^{3}}{\overline{z_{1}}^{3}}=\bruch{1}{\overline{z_{1}}^{3}}
[/mm]
Wobei der Winkel von [mm] \overline{z_{1}} [/mm] dem negativen von [mm] z_{1} [/mm] entspricht.
Und wie kann man nun weiter vorgehen? Oder besser gesagt, Wo muss ich dann genau hin? Muss ich dann zeigen, das die 3. Wurzel einer Komplexen Zahl die Lösung beschriebt und somit es immer ein gleichseitiges Dreieck gibt?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich ist doch die Frage wie kann man aus drei gleichlangen (1) Vektoren ein Dreieck bilden, das nicht gleichseitig ist.
Gruss leduart
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Stimmt. Mann kann dies nur nicht erhalten, wenn mindestens zwei Vektoren aufenander liegen. Dies geht aber nicht da alle Addiert den Nullvektor ergeben soll. Würden zwei aufeinander liege könnte man aber nie den 3. Kompensieren.
Also muss ich ja nur noch gemetrisch zeigen, das 3 gleichlange Vektoren die aus einem Punkt starten ein gleichseitiges Dreieck bilden. Das werde ich wohl noch hinbekommen.
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Fr 17.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo
> eigentlich ist doch die Frage wie kann man aus drei
> gleichlangen (1) Vektoren ein Dreieck bilden, das nicht
> gleichseitig ist.
> Gruss leduart
>
Das hängt davon ab, ob man das Dreieck mit den Ecken 0, [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_1+z_2 [/mm] (es ist eins, wegen [mm] z_1+z_2+z_3=0) [/mm] meint oder mit den Ecken [mm] z_1,z_2 [/mm] und [mm] z_3, [/mm] oder? Bei ersterem ist es anschaulich klar, weil man als Seitenlängen die "Vektoren" [mm] z_i [/mm] der Länge eins nimmt. Bei letzterem sind die Seiten aus den Differenzen zweier [mm] z_i [/mm] gebildet, deren Längen nicht gleich eins sind, und die nicht sofort als untereinander gleich erkannt werden, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Fr 17.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]z_{1},z_{2},z_{3} \varepsilon \IC[/mm] mit:
>
> [mm]z_{1}+z_{2}+z_{3}=0[/mm] und [mm]|z_{1}|=|z_{2}|=|,z_{3}|=1.[/mm]
>
> Zeigen sie, das die Pukte in der Gaußschen Zahlenebene ein
> gleichseitiges Dreieck bilden.
Nach Ausklammern von [mm]z_1[/mm] (Drehung um den Ursprung, Abstände bleiben unverändert) wird man auf [mm]1+p+q=0[/mm] mit [mm]|p|=|q|=1[/mm] geführt. Ein Punkt liegt also bei [mm](1,0)[/mm]. Nun ist [mm]|p-q|^2=|q-1|^2=5+2\operatorname{Re}(p)[/mm]. Analog gilt [mm]|p-q|^2=|p-1|^2[/mm]. Die Seitenlängen sind also gleich.
LG
gfm
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Was meinst du mit Ausklammern von Z1? Wir haben doch keine Produkte. und weiso führt das auf 1+p+q=0
Was sind dann dein p und q?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 18.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Was meinst du mit Ausklammern von Z1? Wir haben doch keine
> Produkte. und weiso führt das auf 1+p+q=0
>
> Was sind dann dein p und q?
Ich nutze die Rotationssymmetrie aus. O.b.d.A darf man wohl annehmen, dass eine Zahl bei (0,1) auf der reellen Achse liegt.
LG
gfm
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ja stimmt. Danke für die Hilfe.
Ich habe es jetzt einfach geometrisch über die Vektorrechung beweisen können.
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