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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 24.05.2008 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Kurvenintegral, wobei Ca das positiv orientierte Rechteck mit den Ecken -1,1,1+2i,-1+2i bezeichnet:
[mm] \integral_{Ca}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz} [/mm] |
Wie berechne ich dieses Kurvenintegral nun?
Folgendes habe ich schon probiert, allerdings glaube ich das es falsch ist:
1)Nenner wird für z = i 0. Da i, aber innerhalb des Rechtecks liegt ist die Funktion nicht holomorph und das Integral wird daher laut CIS nicht 0.
2) Einsetzen in die Formel: [mm] \bruch{1}{2\pii}\integral_{}^{}{\bruch{zeta^2+1}{(zeta-i^2}}
[/mm]
f(zeta) = [mm] (zeta^2+1) [/mm] = 0, da [mm] i^2 [/mm] = -1 ergibt
Allerdings wäre ja dann das ganze Integral 0 und das glaube ich stimmt nicht.
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Hallo user009,
> Berechnen Sie folgendes Kurvenintegral, wobei Ca das
> positiv orientierte Rechteck mit den Ecken -1,1,1+2i,-1+2i
> bezeichnet:
>
> [mm]\integral_{Ca}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}[/mm]
> Wie berechne ich dieses Kurvenintegral nun?
Zunächst mußt Du diesen Weg parametrisieren:
[mm]-1 \to \ 1 \to 1+2i \to -1+2i \to -1[/mm]
Daraus ergeben sich 4 Wege, die zu parametrisieren sind:
[mm]C_{1}: -1 \to 1[/mm]
[mm]C_{2}: 1 \to 1+2i[/mm]
[mm]C_{3}: 1+2i \to -1+2i[/mm]
[mm]C_{4}: -1+2i \to -1[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{Ca}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}=\integral_{C_{1}}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}+\integral_{C_{2}}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}+\integral_{C_{3}}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}+\integral_{C_{4}}^{}{\bruch{(z^2+1)}{(z-i)^2}dz}[/mm]
>
> Folgendes habe ich schon probiert, allerdings glaube ich
> das es falsch ist:
>
> 1)Nenner wird für z = i 0. Da i, aber innerhalb des
> Rechtecks liegt ist die Funktion nicht holomorph und das
> Integral wird daher laut CIS nicht 0.
>
> 2) Einsetzen in die Formel:
> [mm]\bruch{1}{2\pii}\integral_{}^{}{\bruch{zeta^2+1}{(zeta-i^2}}[/mm]
>
> f(zeta) = [mm](zeta^2+1)[/mm] = 0, da [mm]i^2[/mm] = -1 ergibt
In welche Formel?
Der Integrand hat bei [mm]\zeta=i[/mm] einen Pol zweiter Ordnung.
>
> Allerdings wäre ja dann das ganze Integral 0 und das glaube
> ich stimmt nicht.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 24.05.2008 | | Autor: | user0009 |
In die Formel
[mm] \bruch{1}{2\pi i}*\integral_{}^{}{\bruch{f(\zeta)}{\zeta - z}}d\zeta.
[/mm]
Diese habe ich gemeint!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 25.05.2008 | | Autor: | user0009 |
Deine Antwort läuft aber darauf hinaus, dass man das Integral mit den Residuensatz löst.
Ich soll das Integral allerdings mithilfe des Cauchischen Integralsatzes lösen. Daher habe ich in der Mittteilung auch nochmals die Cauche Integrationsformel hinein geschrieben.
Muss ich mit dieser weiter verfahren? Wenn ja wie? Wenn nein, wie gehts anderst?
Ich steh bei der komplexen Analysis etwas an. Danke für die Hilfe.
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Hallo user0009,
> Deine Antwort läuft aber darauf hinaus, dass man das
> Integral mit den Residuensatz löst.
Das mit dem Pol 2. Ordnung geht über den Residuenssatz, richtig.
> Ich soll das Integral allerdings mithilfe des Cauchischen
> Integralsatzes lösen. Daher habe ich in der Mittteilung
> auch nochmals die Cauche Integrationsformel hinein
> geschrieben.
>
> Muss ich mit dieser weiter verfahren? Wenn ja wie? Wenn
> nein, wie gehts anderst?
Der Integrand lautet
[mm]f\left(z\right)=\bruch{z^{2}+1}{\left(z-i\right)^{2}}[/mm]
Erstmal vereinfachen, da [mm]z=i[/mm] auch eine Nullstelle des Zählers ist.
Dann steht da:
[mm]f\left(z\right)=\bruch{z^{2}+1}{\left(z-i\right)^{2}}=\bruch{\left(z+i\right)\left(z-i\right)}{\left(z-i\right)\left(z-i\right)}=\bruch{z+i}{z-i}[/mm]
Zu berechnen ist demnach:
[mm]\integral_{Ca}^{}{\bruch{z^{2}+1}{\left(z-i\right)^{2}} \ dz}=\integral_{Ca}^{}{\bruch{z+i}{z-i} \ dz}=\integral_{C_{1}}^{}{\bruch{z+i}{z-i} \ dz}+\integral_{C_{2}}^{}{\bruch{z+i}{z-i} \ dz}+\integral_{C_{3}}^{}{\bruch{z+i}{z-i} \ dz}+\integral_{C_{4}}^{}{\bruch{z+i}{z-i} \ dz}[/mm]
Um diese Integrale jetzt berechnen zu können, setze die Parametrisierungen der entsprechenden Wege ein.
> Ich steh bei der komplexen Analysis etwas an. Danke für die
> Hilfe.
Gruß
MathePower
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