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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe zahlen und Geometrie
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Komplexe zahlen und Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mi 20.08.2008
Autor: Zwinkerlippe

Aufgabe
a) Bei festem [mm] a\in\IC [/mm] ist durch die Gleichung z=z(t)=t*a [mm] (a=\tau*e^{i\phi} [/mm] , [mm] t\in\IR) [/mm] eine Punktmenge g in der Gaußschen Zahlenebene gegeben. Welche Kurve wird durch g dargestellt? Was für eine charakteristische Eigenschaft besitzen alle diese durch unterschiedliches a entstehenden Kurven?
b) Ein weiterer Punkt [mm] w=u+iv=p*e^{i\psi} [/mm] ist gegeben, dessen Spiegelbild w`_g an g in exponentieller Schreibweise gesucht ist.
c) Eine Gerade h ist durch [mm] z(t)=z_0+ta (t\in\IR) [/mm] gegeben. Führen Sie den Spiegelpunkt w`_h von w an h. Hinweis: Arbeiten Sie analog zu b) und verwenden dabei die Zahlen [mm] a=\wurzel{3}+i, [/mm] w=1-2i und [mm] z_0=2+i [/mm]

Ich grüße den matheraum so jetzt zur letzten Aufgabe aber, aber, ich kann nicht viel bieten

a)
es handelt sich um Geraden
sie verlaufen durch den Ursprung

b)
[mm] w=u+iv=\tau*e^{i\phi} [/mm]

[mm] w=\wurzel{u^{2}+v^{2}}*e^{\phi} [/mm]

[mm] w'_g=\phi*e^{\phi-(\psi-\phi)} [/mm]

[mm] w'_g=\phi*e^{2\phi-\psi} [/mm]

c)

leider habe ich nicht mehr zu bieten, ob sich jemand findet, der mir Aufgaben erklärt? Danke Zwinkerlippe

        
Bezug
Komplexe zahlen und Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Mi 20.08.2008
Autor: Leopold_Gast

Der Parameter [mm]a[/mm] legt ja die Richtung der Geraden fest. Multipliziert man eine komplexe Zahl [mm]w[/mm] mit [mm]a[/mm], so entspricht das einer Drehstreckung um den Ursprung, wobei das Argument von [mm]a[/mm] gerade der Drehwinkel ist (und der Betrag von [mm]a[/mm] der Streckfaktor). Daher die folgende Konstruktion:

1. Rückwärtsdrehen der Spiegelachse, so daß sie auf die reelle Achse fällt
arithmetisch: Multiplikation mit [mm]\frac{\bar{a}}{|a|}[/mm]

2. Spiegelung an der reellen Achse
arithmetisch: komplexe Konjugation

3. In die Ausgangslage zurückdrehen
arithmetisch: Multiplikation mit [mm]\frac{a}{|a|}[/mm]

Diese drei Punkte nacheinander ausgeführt ergeben eine Spiegelung an der vorliegenden Geraden:

[mm]w \mapsto \frac{\bar{a}}{|a|} \cdot w \mapsto \frac{a}{|a|} \cdot \bar{w} \mapsto \frac{a}{|a|} \cdot \frac{a}{|a|} \cdot \bar{w}[/mm]

Das Ergebnis kann noch vereinfacht werden:

[mm]\frac{a^2}{|a|^2} \cdot \bar{w} = \frac{a^2}{a \bar{a}} \cdot \bar{w} = \frac{a}{\bar{a}} \cdot \bar{w}[/mm]

Die gesuchte Spiegelung ist also

[mm]w \mapsto \frac{a}{\bar{a}} \cdot \bar{w}[/mm]

Bezug
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