Komplexe zahl beweis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 30.05.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] sei [mm] $\phi_z \in [0,2\pi)$ [/mm] der Winekl der Geraden durch $0$ und $z$ und der positiven $x$-Achse.Zeigen sie für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] :
[mm] $\phi-\overline{z}=\begin{cases} 3\pi-\phi_z , & \mbox{falls} \phi_z >\pi \\ \pi-\phi_z, & \mbox{falls}\phi_z \le \pi \end{cases}$ [/mm] |
hi leute
ich hab irgendwie 0-plan wie ich diesen Beweis angehen soll. kann mir da irgendwer was sagen? :)
bitte :D
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]z \in \IC \setminus \{0\}[/mm] sei [mm]\phi_z \in [0,2\pi)[/mm] der
> Winekl der Geraden durch [mm]0[/mm] und [mm]z[/mm] und der positiven
> [mm]x[/mm]-Achse.Zeigen sie für [mm]z \in \IC \setminus \{0\}[/mm] :
>
> [mm]\phi-\overline{z}=\begin{cases} 3\pi-\phi_z , & \mbox{falls} \phi_z >\pi \\ \pi-\phi_z, & \mbox{falls}\phi_z \le \pi \end{cases}[/mm]
Das soll wohl [mm] \phi_{\overline{z}} [/mm] heißen.
>
> hi leute
>
> ich hab irgendwie 0-plan wie ich diesen Beweis angehen
> soll. kann mir da irgendwer was sagen? :)
Ich würde Dir eine Zeichnung vorschlagen. Damit kommt man oft auf Ideen.
Mach das mal und beachte: anschaulich bekommt man [mm] \overline{z} [/mm] indem man z an der reellen Achse spiegelt.
FRED
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> bitte :D
>
> liebe grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 30.05.2015 | | Autor: | nkln |
hi fred,
danke für deine Antwort:)
ich habe die Zeichnung mal hochgeladen,aber ich werde immer noch nicht schlau,wie man da vorgehen soll :/
zeichnung:
https://www.dropbox.com/s/hyspnvk9pmqntzw/20150530_160435.jpg?dl=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi fred,
>
> danke für deine Antwort:)
>
> ich habe die Zeichnung mal hochgeladen,aber ich werde immer
> noch nicht schlau,wie man da vorgehen soll :/
na, nehmen wir den Fall $0 [mm] \le \phi_z \le \pi$:
[/mm]
Offenbar ist
[mm] $\phi_{\red{\,-\,}\overline{z}}+\phi_{z}=\pi\,.$
[/mm]
Denn: Sofort ist erkennbar, dass
[mm] $\phi_{\overline{z}}=\phi_{z}$,
[/mm]
da "der Außenwinkel von [mm] $\phi_{\overline{z}}$ [/mm] eben [mm] $2\pi-\phi_{z}$ [/mm] ist".
(Oder Du argumentierst einfach mit kongruenten Dreiecken!)
Der Winkel zwischen der negativen x-Achse und [mm] ${\red{\,-\,}\overline{z}}$ [/mm] ist als
Scheitelwinkel (vielleicht erinnerst Du Dich auch an begriffe wie
*Wechselwinkel*) genauso groß wie der Winkel [mm] $\phi_{\red{\,+\,}\overline{z}}$. [/mm]
Der Winkel [mm] $\phi_{\red{\,-\,}\overline{z}}$ [/mm] ergibt addiert zu dem Winkel zwischen der
negativen x-Achse und [mm] ${\red{\,-\,}\overline{z}}$ [/mm] aber [mm] $\pi$ [/mm] (entspricht 180°) - Stichwort: Nebenwinkel.
Also: Für $0 [mm] \le \phi_z \le \pi$ [/mm] gilt
[mm] $\phi_{\red{\,-\,}\overline{z}}+\phi_{z}=\pi\,,$
[/mm]
und damit insbesondere
[mm] $\phi_{\red{\,-\,}\overline{z}}=\pi-\phi_{z}\,.$ [/mm]
P.S. Zur Verdeutlichung würde ich hier zwei Skizzen machen:
1. Skizze behandelt den Fall $0 [mm] \le \phi_z \le \pi/2$ [/mm] (z im 1. Quadranten)
2. Skizze behandelt den Fall [mm] $\pi/2 [/mm] < [mm] \phi_z \le \pi$ [/mm] (z im 2. Quadranten)
Der andere Fall: Probiere es mal!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Für [mm]z \in \IC \setminus \{0\}[/mm] sei [mm]\phi_z \in [0,2\pi)[/mm] der
> > Winekl der Geraden durch [mm]0[/mm] und [mm]z[/mm] und der positiven
> > [mm]x[/mm]-Achse.Zeigen sie für [mm]z \in \IC \setminus \{0\}[/mm] :
> >
> > [mm]\phi-\overline{z}=\begin{cases} 3\pi-\phi_z , & \mbox{falls} \phi_z >\pi \\ \pi-\phi_z, & \mbox{falls}\phi_z \le \pi \end{cases}[/mm]
>
>
> Das soll wohl [mm]\phi_{\overline{z}}[/mm] heißen.
ich vermute eher
[mm] $\phi_{\,\red{-\,}\overline{z}}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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