Komplexe Zahlenmenge zeichnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeichne |z|, wobei z eine komplexe Zahl ist. |
Hallo,
ich möchte ganz allgemein den Betrag von komplexen Zahlen zeichnen, also z.B. {z [mm] \in \IC [/mm] : | z | }
Der Betrag ist allgemein wie folgt definiert: |z| = sqrt( a² + b²), wobei a der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahl z ist.
Zeichnet man diese Menge nun, hat man sozusagen 2 Geraden, einmal y = -x und einmal y = x.
Ich verstehe den positiven Teil, aber woher kommt der negative Teil?
"Am Ende" des auflösen der Gleichung habe ich: b² = -a² => b = i * a
Mir wird aber nicht klar, wo der negative Teil der Menge herkommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Zeichne |z|, wobei z eine komplexe Zahl ist.
> Hallo,
>
> ich möchte ganz allgemein den Betrag von komplexen Zahlen
> zeichnen,
Ist z \in \IC, so zeichne die Kreislinie mit Mittelpunkt 0, die z enthält. Dies Kreislinie trifft die positive reelle Achse im Punkt |z|.
> also z.B. {z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: | z | }
Was ist denn das für eine verquere Menge ????
> Der Betrag ist allgemein wie folgt definiert: |z| = sqrt(
> a² + b²), wobei a der Realteil und b der Imaginärteil
> der komplexen Zahl z ist.
>
> Zeichnet man diese Menge nun,
Welche Menge ?????
> hat man sozusagen 2 Geraden,
> einmal y = -x und einmal y = x.
>
> Ich verstehe den positiven Teil, aber woher kommt der
> negative Teil?
>
> "Am Ende" des auflösen der Gleichung habe ich: b² = -a²
> => b = i * a
> Mir wird aber nicht klar, wo der negative Teil der Menge
> herkommt.
Sag nun endlich mal , um welche Menge es geht !!!!
FRED
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Naja, eigentlich möchte ich ja nun wissen, wie man allgemein vorgeht bei Aufgabenstellungen, wo man komplexe Zahlenmengen zeichnen soll.
Daher habe ich allgemein angegeben, dass es sich um die Menge aller komplexen zahlen dreht.
Also:
Ich bin auf der Suche nach dem Vorgehen, wie man z.B. dann auf einen solchen Plott kommt:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cz%7C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Naja, eigentlich möchte ich ja nun wissen, wie man
> allgemein vorgeht bei Aufgabenstellungen, wo man komplexe
> Zahlenmengen zeichnen soll.
Ein Kochrezept gibt es nicht !
>
> Daher habe ich allgemein angegeben, dass es sich um die
> Menge aller komplexen zahlen dreht.
>
> Also:
>
> Ich bin auf der Suche nach dem Vorgehen, wie man z.B. dann
> auf einen solchen Plott kommt:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cz%7C
Da sehe ich nur einen Plott des reellen Betrags !
FRED
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> Da sehe ich nur einen Plott des reellen Betrags !
und genau den verstehe ich wie oben angedeutet nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Da sehe ich nur einen Plott des reellen Betrags !
>
> und genau den verstehe ich wie oben angedeutet nicht...
Zeichne doch mal den Graphen der Funktion [mm] $f:\IR \to \IR$, [/mm] f(x)=|x|
FRED
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Der schaut genau so aus.
Ich würde das allerdings gern rechnerisch nachvollziehen können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Der schaut genau so aus.
>
> Ich würde das allerdings gern rechnerisch nachvollziehen
> können.
Für x [mm] \in \IR [/mm] ist
|x|=x, falls x [mm] \ge [/mm] 0 und |x|=-x, falls x<0
FRED
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aber es ist doch so (oder nicht?)
| z | = sqrt(x²+y²)
<=>
x² + y² = 0
<=>
y² = -x²
y = i * x
und damit habe ich ja sozusagen den positiven Teil des Graphen, f(x) = x.
Ich versteh aber nicht wo der negative herkommt....:-/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> aber es ist doch so (oder nicht?)
>
> | z | = sqrt(x²+y²)
>
> <=>
> x² + y² = 0
> <=>
> y² = -x²
> y = i * x
>
> und damit habe ich ja sozusagen den positiven Teil des
> Graphen, f(x) = x.
>
> Ich versteh aber nicht wo der negative herkommt....:-/
Und ich verstehe immer noch nicht, was Du sagst !
Ist z=x+iy mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] so haben wir:
|z|=0 [mm] \gdw x^2+y^2=0 \gdw [/mm] x=y=0 [mm] \gdw [/mm] z=0.
FREd
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Dann mal anders...
|z-1| <= |z+i|
soll erfüllt werden.
Ist es korrekt, wenn das quasi die Fläche ist, die oberhalb der Winkelhalbierenden im 2. Quadrant ist? Also alles über und gleich f(x) = -x
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann mal anders...
>
> |z-1| <= |z+i|
>
> soll erfüllt werden.
Na, also , endlich mal eine klare und sinnvolle Aufgabenstellung ! Warum nicht gleich so ?
>
> Ist es korrekt, wenn das quasi die Fläche ist, die
> oberhalb der Winkelhalbierenden im 2. Quadrant ist? Also
> alles über und gleich f(x) = -x
Ja, das stimmt. Es ist die folgende Menge:
[mm] \{(x,y) \in \IR^2: y \ge -x\}.
[/mm]
Wenn Du es in komplexer Notation haben willst, bitte:
[mm] \{z \in \IC: Im(z) \ge -Re(z)\}.
[/mm]
FRED
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Hi,
das war ja alles nicht boshaft gemeint, aber ich wollte die Sache etwas vereinfachen um eventuell noch etwas grundsätzlicher zu beginnen. Naja, vielen Dank 
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wie bekomme ich es denn dann hin, wenn ich noch zusätzliche Bedingungen wie z.B. |z| >= 1, Re(z) >= 1/2, Im(z) >= 0 ?
Mein 1. Gedanke war dann sowas wie:
|a + 1/2 + b*i |>= 1
Allerdings stellt das ja nicht sicher, das a nicht negativ ist...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Di 19.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man so was wie |z| >= 1, Re(z) >= 1/2, Im(z) >= 0
stellt man erst mal fest was die Mengen |z|=1, Re(z)=1/2 Im(z)=0 sind. das erste ist die Kreislinie mit radius 1 um (0,0) damit ist die erste Bedingung alles was ausserhalb dieses Kreises ist- das zweite ist die Gerade x=1/2 also eine parallele zur y-Achse, also Re(z) >= 1/2, alles was rechts davon liegt, und schließlich das dritte ist die x-achse also alles was oberhalb davon liegt. zum Zeichnen also die drei = teile zeichnen und dann das schraffieren was die Ungleichungen sagen.
du kannst das nicht, wie du versucht hast alles in eine Ungleichung packen, weil es ja 3 Bedingungen sind, die nichts miteinander zu tun haben, nur insgesamt beschreiben sie eine menge in der Gauss- Ebene.
oft hilft es natürlich auch die 0 Beziehungen mit z=x+iy in der x-y Ebene anzusehen.
und stelle lieber, wie hier konkrete Fragen, denn so was wie zeichne ich |z| ist nicht hilfreich, weil das einfach eine Länge ist, man kann nur die Menge aller z angeben mit z.B |z|=4 oder <4 usw.
Gruß ledum
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Hi,
danke für die sehr aufschlussreichen Worte, das hilft mir. Es ist nicht so richtig offensichtlich zu erkennen, wie ich am besten daran gehe.
z.B. (wieder konkret):
{z [mm] \in \IC [/mm] : |z +4i | * | z-4 | <= 0 }
Ich bin so vorgegangen:
|z +4i | * | z-4 | <= 0
Diese Ungleichung habe ich quadriert, dann entstehen aus den Beträgen jeweils die Multiplikation mit der jeweils komplex konjugierten komplexen Zahl, also:
(...)
[mm] (z^2 [/mm] + 16) * [mm] (z^2 [/mm] - 16) <= 0
<=>
[mm] z^4 [/mm] - 256 <= 0
<=>
z - 4 <= 0
ist das soweit korrekt?
Das wären in der Gauss-Ebene doch quasi die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten, verschoben von (0,0) auf (4,0) und diese Winkelhalbierende schließt mit der x-Achse alle Werte ein <= 0.
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> danke für die sehr aufschlussreichen Worte, das hilft mir.
> Es ist nicht so richtig offensichtlich zu erkennen, wie ich
> am besten daran gehe.
>
> z.B. (wieder konkret):
>
> [mm] \{z \in \IC : |z +4i | * | z-4 | <= 0 \}
[/mm]
das [mm] $\le$ [/mm] ist richtig? Oder sollte da [mm] $\ge$ [/mm] stehen?
Bevor ich nun loslege: Da Beträge immer nichtnegativ sind, kann die in
der Menge stehende Ungleichung nur dann erfüllt sein, wenn das [mm] $\le$ [/mm] ein
[mm] $=\,$ [/mm] wird. Damit kannst Du direkt ablesen, dass diese Menge
[mm] $=\{-4i,\;4\}$
[/mm]
ist. Vgl. auch mit ![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha.
Wir rechnen zwar auch gleich, aber mach' Dir bitte klar, dass dieses so
ziemlich der eleganteste Weg zur Lösung dieser Aufgabe ist!
> Ich bin so vorgegangen:
Nennen wir obige Menge mal M. Dann gilt für $z [mm] \in \IC$, [/mm] dass $z [mm] \in [/mm] M$ genau dann, wenn
> |z +4i | * | z-4 | <= 0
>
> Diese Ungleichung habe ich quadriert, dann entstehen aus
> den Beträgen jeweils die Multiplikation mit der jeweils
> komplex konjugierten komplexen Zahl, also:
>
> (...)
Okay, ich mache mal eine Zwischenrechnung:
[mm] $|z+4i|^2=(z+4i)*\overline{(z+4i)}=(z+4i)*(\overline{z}+\overline{4i})$
[/mm]
[mm] $=(z+4i)*(\overline{z}-4i)=z*\overline{z}+4i*\overline{z}-4iz-16i^2=|z|^2+16+4i(-2\red{\,i\,}*\text{Im}(z))$
[/mm]
[mm] $=|z|^2+16+8*\text{Im}(z)$
[/mm]
Weiter
[mm] $|z-4|^2=(z-4)*\overline{(z-4)}=...=(z-4)*(\overline{z}-4)=z*\overline{z}-4\overline{z}-4z+16=|z|^2+16-4(2*\text{Re}(z))$
[/mm]
[mm] $=|z|^2+16-8*\text{Re}(z))$
[/mm]
> [mm](z^2[/mm] + 16) * [mm](z^2[/mm] - 16) <= 0
Aus dem [mm] $z^2$ [/mm] müsste ein [mm] $|z|^2$ [/mm] gemacht werden: Für $z [mm] \in \IC$ [/mm] ist i.a. [mm] $z^2 \neq |z|^2$, [/mm]
wie Du Dir mit [mm] $z=i\,$ [/mm] direkt klarmachen kannst!
Aber ansonsten sehe ich auch nicht, wie Du zu Deinem Ergebnis da kommst!
> <=>
>
> [mm]z^4[/mm] - 256 <= 0
>
> <=>
> z - 4 <= 0
>
> ist das soweit korrekt?
Leider nein!
> Das wären in der Gauss-Ebene doch quasi die
> Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten, verschoben von
> (0,0) auf (4,0) und diese Winkelhalbierende schließt mit
> der x-Achse alle Werte ein <= 0.
Na, die Ungleichung $z [mm] \le [/mm] 4$ macht für $z [mm] \in \IC$ [/mm] wenig Sinn - jemand, der sowas
hinschreibt, will damit dann indirekt $z [mm] \in \IR$ [/mm] *als angenommen* suggerieren.
> Ist das korrekt?
Nein, aber das war ein Folgefehler und zudem hast Du auch das Problem,
dass Du für $z [mm] \in \IC$ [/mm] die (dann nicht passende) Ungleichung $z [mm] \le [/mm] 4$ interpretieren wolltest...
Schreiben wir mal [mm] $x=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y=\text{Im}(z)$, [/mm] dann steht oben
[mm] $(x^2+y^2+16+8*y)*(x^2+y^2+16\red{\,-\,}8x) \le [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $(x^2+(y+4)^2)*((x\red{\,-\,}4)^2+y^2) \le 0\,.$
[/mm]
Na? Fällt Dir was auf? 
(Edit: Korrigiert, Danke für Deinen Hinweis!)
Gruß,
Marcel
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Hi,
das riecht grade erstmal nach einer großen Portion Frust....
Also:
Das <= ist richtig.
Deine Zwischenrechnungen
>> $ [mm] =|z|^2+16+8\cdot{}\text{Im}(z) [/mm] $
und
>> $ [mm] =|z|^2+16-8\cdot{}\text{Re}(z)) [/mm] $
konnte ich nach ein wenig "selber nochmal nachrechnen" mir klarmachen - soweit so gut. Aber auch hier muss ich sagen, ich hätte von selbst [mm] \text{Im}(z) [/mm] und [mm] \text{Re}(z) [/mm] nicht geschrieben bzw. hätte diesen Schritt so selber nicht gesehen...
Fehler bei mir waren da, dass ich bei dem rechten Teil der Multiplikation das komplex konjugierte falsch gebildet habe. Wenn ich ehrlich bin, machts mir ein klein wenig Probleme z.B.: haben wir (z-4), wobei z eine komplexe Zahl der form x + y*i ist.
Wenn ich das nutze, habe ich (x + y*i) - 4. Jetzt überlege ich mir, da -4 eine "ganz normale ganze Zahl" ist und ich weiß, dass x mein Realteil ist, kann ich das ganze ja so schreiben: (x-4) + y*i. Möchte ich jetzt meine konjugiert komplexe Zahl dazu finden, denke ich an: ((x-4) + y*i) * ((x-4) - y*i) - aber hier befinde ich mich schon wieder gefühlt auf dem Holzweg...
Das zum einen...
Andererseits schreibst Du:
>> $ [mm] (x^2+y^2+16+8\cdot{}y)\cdot{}(x^2+y^2+16+8x) \le [/mm] 0 $
müsste es nicht:
$ [mm] (x^2+y^2+16+8\cdot{}y)\cdot{}(x^2+y^2+16-8x) \le [/mm] 0 $
heißen, wenn ich mir Deine Ergebnisse der Zwischenschritte ansehe?
Nun, das ganze ist ja jetzt wieder so geklammert, dass es "nah" an der Definition vom Betrag ist und somit die Ausgangsaufgabe wieder darstellt.
Aber mir ist schleierhaft, wo dann das i im linken Teilterm herkommt...
Ohje...tief durchatmen...
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ein kleines Edit:
>> Nun, das ganze ist ja jetzt wieder so geklammert, dass es "nah" an der
>> Definition vom Betrag ist und somit die Ausgangsaufgabe wieder darstellt.
>>
>> Aber mir ist schleierhaft, wo dann das i im linken Teilterm herkommt...
Das hat sich grad aufgelöst...ich habs gesehen. Besser spät als nie.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> das riecht grade erstmal nach einer großen Portion
> Frust....
>
> Also:
>
> Das <= ist richtig.
>
> Deine Zwischenrechnungen
>
> >> [mm]=|z|^2+16+8\cdot{}\text{Im}(z)[/mm]
> und
> >> [mm]=|z|^2+16-8\cdot{}\text{Re}(z))[/mm]
>
> konnte ich nach ein wenig "selber nochmal nachrechnen" mir
> klarmachen - soweit so gut. Aber auch hier muss ich sagen,
> ich hätte von selbst [mm]\text{Im}(z)[/mm] und [mm]\text{Re}(z)[/mm] nicht
> geschrieben bzw. hätte diesen Schritt so selber nicht
> gesehen...
Merkregeln: [mm] $z+\overline{z}=2*\text{Re}(z)$
[/mm]
[mm] $z-\overline{z}=2*i*\text{Im}(z)$
[/mm]
Ist aber klar, wo das herkommt?
> Fehler bei mir waren da, dass ich bei dem rechten Teil der
> Multiplikation das komplex konjugierte falsch gebildet
> habe. Wenn ich ehrlich bin, machts mir ein klein wenig
> Probleme z.B.: haben wir (z-4), wobei z eine komplexe Zahl
> der form x + y*i ist.
> Wenn ich das nutze, habe ich (x + y*i) - 4. Jetzt
> überlege ich mir, da -4 eine "ganz normale ganze Zahl"
Also eine reelle Zahl
> ist und ich weiß, dass x mein Realteil ist, kann ich das ganze
> ja so schreiben: (x-4) + y*i. Möchte ich jetzt meine
> konjugiert komplexe Zahl dazu finden, denke ich an: ((x-4)
> + y*i) * ((x-4) - y*i) - aber hier befinde ich mich schon
> wieder gefühlt auf dem Holzweg...
Das ist doch okay, nur, dass natürlich
$((x-4) - y*i)$
die zu $((x-4) + y*i)$ konjugierte ist. (Die rechnest oben das Produkt der Zahl
mit ihrer Konjugierten, das ist das Betragsquadrat der Zahl!)
Es gilt hier
Re((x-4) - y*i)=(x-4)
und
Im((x-4) - y*i)=Im(((x-4)+ (- y)*i))=-y
(ich habe den Real- und Imaginärteil der KONJUGIERTEN hingeschrieben).
> Das zum einen...
>
> Andererseits schreibst Du:
>
> >> [mm](x^2+y^2+16+8\cdot{}y)\cdot{}(x^2+y^2+16+8x) \le 0[/mm]
>
> müsste es nicht:
>
> [mm](x^2+y^2+16+8\cdot{}y)\cdot{}(x^2+y^2+16-8x) \le 0[/mm]
>
> heißen, wenn ich mir Deine Ergebnisse der Zwischenschritte
> ansehe?
Ja, das war ein Verschreiber.
> Nun, das ganze ist ja jetzt wieder so geklammert, dass es
> "nah" an der Definition vom Betrag ist und somit die
> Ausgangsaufgabe wieder darstellt.
>
> Aber mir ist schleierhaft, wo dann das i im linken Teilterm
> herkommt...
Welches i?
> Ohje...tief durchatmen...
Vielleicht schaust Du Dir auch Satz 4.6 und Satz 4.7 von
hier: http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
an.
Vielleicht nochmal kurz zu oben: Sei $z=x+iy$ mit [mm] $x=\text{Re}(z),\;y=\text{Im}(z) \in \IR\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $z-\overline{z}=(x+i*y)-\overline{(x+i*y)}=x+i*y-(x-i*y)=x+iy-x+iy=2iy=2i*\text{Im}(z)$
[/mm]
Daraus folgt übrigens sofort
[mm] $\overline{z}-z=-(z-\overline{z})=\red{\,-\,}2i*\text{Im}(z)$
[/mm]
P.S. Vielleicht zur Übung: Bestimme den Real- und Imaginärteil von
[mm] $\frac{1}{3+4i}\,.$
[/mm]
Es gibt dabei einen Trick, den ich aber später verrate (der aber auch aus
den Regeln des Skriptes herleitbar ist; es hat etwas mit [mm] $|z|^2=z*\overline{z}$ [/mm] zu tun).
Ohne Trick: Ansatz
[mm] $\frac{1}{3+4i}\;\stackrel{!}{=}\;r+i*s$ [/mm] mit (zu bestimmenden) $r,s [mm] \in \IR$
[/mm]
Rechnen, und je nach Endergebnis bedenken, dass eine komplexe Zahl
genau dann 0 ist, wenn deren Real- und Imaginärteil zugleich 0 sind.
Gruß,
Marcel
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Hi,
> $ [mm] z+\overline{z}=2\cdot{}\text{Re}(z) [/mm] $
> $ [mm] z-\overline{z}=2\cdot{}i\cdot{}\text{Im}(z) [/mm] $
Du hast es ja weiter unten quasi schon hingeschrieben, wenn man für z und [mm] \overline{z} [/mm] einsetzt, ergibt sich das ganze! Kann ich nachvollziehen.
> $ [mm] \frac{1}{3+4i}\,. [/mm] $
Der "Trick" ist doc mit (3-4i) zu erweitern, dann wird der Nenner reel, da [mm] i^2 [/mm] = -1 und der "Mittelteil" dank 3. bin. Formel wegfällt.
Aufgaben zu dem Typ, wo man Realteil, Imaginärteil, [mm] \overline{z} [/mm] und eventuell noch den Betrag "ablesen" soll, das klappt soweit gut.
Aber ich kann absolut nicht gut mit den Definitionen und Hilfslemma "arbeiten". Die Dinge getrennt voneinander zu betrachten und zu berechnen ist völlig ok und transparent für mich, aber dann das ganze noch zu verwenden wie bei den Aufgaben hier ist für mich richtig schwer bzw. ich sehe es kaum. Klar kann ich es jetzt nachvollziehen, aber von allein komme ich einfach nicht (gut) drauf.
Was mache ich z.B. hier?
|Re(z) - 2| + |2- Im(z)| <= 4
Bitte erstmal nur ein Tipp, nicht vorrechnen.
Mein erster Gedanke war jetzt, z = x + y*i zu definieren und dann entsprechend x = Re(z) und Im(z) = y einzusetzen. Dann quadrieren, also
(|x - 2| + |2 -y|)² <= 16
soweit ok? Ich denke mal wieder viel zu umständlich...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
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> > [mm]z+\overline{z}=2\cdot{}\text{Re}(z)[/mm]
> > [mm]z-\overline{z}=2\cdot{}i\cdot{}\text{Im}(z)[/mm]
>
> Du hast es ja weiter unten quasi schon hingeschrieben, wenn
> man für z und [mm]\overline{z}[/mm] einsetzt, ergibt sich das
> ganze! Kann ich nachvollziehen.
>
> > [mm]\frac{1}{3+4i}\,.[/mm]
>
> Der "Trick" ist doc mit (3-4i) zu erweitern, dann wird der
> Nenner reel, da [mm]i^2[/mm] = -1 und der "Mittelteil" dank 3. bin.
> Formel wegfällt.
>
> Aufgaben zu dem Typ, wo man Realteil, Imaginärteil,
> [mm]\overline{z}[/mm] und eventuell noch den Betrag "ablesen" soll,
> das klappt soweit gut.
>
> Aber ich kann absolut nicht gut mit den Definitionen und
> Hilfslemma "arbeiten". Die Dinge getrennt voneinander zu
> betrachten und zu berechnen ist völlig ok und transparent
> für mich, aber dann das ganze noch zu verwenden wie bei
> den Aufgaben hier ist für mich richtig schwer bzw. ich
> sehe es kaum. Klar kann ich es jetzt nachvollziehen, aber
> von allein komme ich einfach nicht (gut) drauf.
>
> Was mache ich z.B. hier?
> |Re(z) - 2| + |2- Im(z)| <= 4
>
> Bitte erstmal nur ein Tipp, nicht vorrechnen.
> Mein erster Gedanke war jetzt, z = x + y*i zu definieren
> und dann entsprechend x = Re(z) und Im(z) = y einzusetzen.
> Dann quadrieren, also
> (|x - 2| + |2 -y|)² <= 16
>
> soweit ok? Ich denke mal wieder viel zu umständlich...
das ist soweit okay, aber ich sehe keinen Grund, warum Du das quadrieren
willst. Die Menge
[mm] $\{z \in \IC:\;\;|Re(z) - 2| + |2- Im(z)| \le 4\}$
[/mm]
kannst Du im [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizieren mit
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2:\;\; |x-2|+|2-y| \le 4\}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; |x-2|+|y-2| \le 4\}$
[/mm]
Es geht Dir doch sicher nun darum, Dir klarzumachen, wie diese Menge
aussieht.
Seien $(x,y)$ aus dieser Menge.
1. Fall: Für $y [mm] \ge [/mm] 2$ gilt dann
$|x-2|+|y-2| [mm] \le [/mm] 4$
[mm] $\iff$ [/mm] $|x-2|+y-2 [mm] \le [/mm] 4$
[mm] $\iff$ [/mm] $y [mm] \le [/mm] 6-|x-2|$
Eine Idee, was Du damit anfangen kannst? Und dann wäre die nächste
Frage: Kannst Du den Fall $y < 2$ (meinetwegen auch $y [mm] \le [/mm] 2$) selbst behandeln
und weißt dann das Ergebnis sinnvoll graphisch zu deuten?
P.S. Wenn Du das verstanden hast und Dir vielleicht das ganze auch
graphisch klargemacht hast (entweder selbst eine Skizze gezeichnet,
oder einen Funktionenplotter benutzt), dann solltest Du am Ende sagen
können, dass Du die obige Menge als Viereck beschreiben kannst, deren
Endpunkte Du uns hier nennen kannst.
Ich mache mal den Anfang und sage Dir, dass einer der Eckpunkte $(2|6)$ ist,
und durch "Schnitt von Graphen" siehst Du auch, dass ein weiterer $(-2|2)$ ist.
(Testen wir das auch mal:
$|2-2|+|6-2|=0+4=4 [mm] \le [/mm] 4$
$|-2-2|+|2-2|=|-4|+0=4 [mm] \le [/mm] 4$)
P.S. Sorry, ich habe vielleicht doch ein wenig zu viel vorgerechnet. Aber
andererseits: Du musst Dir klarmachen, wie Du Dir die Menge
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2:\;\; 2 \le y \le 6-|x-2| \}$
[/mm]
skizzieren kannst. (Hinweis: Betrachte erstmal $y=6-|x-2|$...)
Dann musst Du analoges überlegen, was im Falle $y [mm] \le 2\,$ [/mm] entsteht. Und
eigentlich solltest Du auch noch die Schnittpunkte zweier Graphen
berechnen (ich habe den einen einfach mit Hilfe eines Plotters abgelesen;
durch Einsetzen kann man aber prüfen, dass das, was man sieht, auch das
ist, was passt).
Gruß,
Marcel
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Danke für die ausführliche Beschreibung.
Das mit dem quadrieren war natürlich quark...das war motiviert durch andere Aufgaben, wo man den Betrag einer komplexen Zahl gegeben hatte...
Wolframalpha kann ich zwar bedienen und mir hier helfen, aber ich muss leider zugeben, dass ich nach ewigem geknobel mir nicht wirklich helfen kann...
Ich steh auf dem Schlauch, mir bereiten die Beträge und die 2 unbekannten hier arge Probleme. Bleibe aber dran...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die ausführliche Beschreibung.
> Das mit dem quadrieren war natürlich quark...das war
> motiviert durch andere Aufgaben, wo man den Betrag einer
> komplexen Zahl gegeben hatte...
>
> Wolframalpha kann ich zwar bedienen und mir hier helfen,
> aber ich muss leider zugeben, dass ich nach ewigem geknobel
> mir nicht wirklich helfen kann...
> Ich steh auf dem Schlauch, mir bereiten die Beträge und
> die 2 unbekannten hier arge Probleme. Bleibe aber dran...
na, ich mach' es mal kurz:
Du weißt, wie der Graph der Funktion
$y=6-|x-2|$
aussieht. (Nimm' die Betragsfunktion, klappe sie nach unten, verschiebe
das Ding um 2 nach rechts und 6 nach oben; die "Spitze" ist dann bei $(2|6)$.)
Zeichne nun die durch [mm] $y=2\,$ [/mm] gegebene Gerade ein. Du siehst nun eine
Dreiecksfläche (Eckpunkte $(-2|2), (6|2)$ und $(2|6)$).
Die Punkte der Dreiecksfläche erfüllen $y [mm] \ge [/mm] 2$ (weil sie über der durch $y=2$
gegebenen Geraden liegen) und auch $y [mm] \le [/mm] 6-|x-2|$ (der Graph von $y=6-|x-2|$
*umrandet* den oberen Bereich quasi).
Der Fall y<2 geht analog, Du bekommst dann
$y [mm] \ge [/mm] -2+|x-2|$
Jetzt "beide Fälle vereinen" (Lösungsmenge des 1. Falls vereinigt mit der des
2. Falls).
Gruß,
Marcel
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Oh man, im Grunde genommen simpler als man denkt, aber ich komme nicht darauf...man muss sich nur zu helfen wissen (was ich hier definitiv nicht ordentlich kann).
Vielen Dank...! Ganz große Klasse!
Rechnerisch zu lösen ist vermutlich sehr aufwendig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh man, im Grunde genommen simpler als man denkt, aber ich
> komme nicht darauf...man muss sich nur zu helfen wissen
> (was ich hier definitiv nicht ordentlich kann).
>
> Vielen Dank...! Ganz große Klasse!
>
> Rechnerisch zu lösen ist vermutlich sehr aufwendig, oder?
rechnerisch würde mir nur noch einfallen, zu beweisen, dass die genannte
Menge wirklich durch das *geometrisch hergeleitete Viereck* beschrieben
wird.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 19.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein |z +4i | * | z-4 | <= 0
1. Schritt denken! ein Betrag ist [mm] immer\ge [/mm] 0
also kann nur das = gelten.
2. wieder denken: ein Prpdukt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist
.3. damit der Betrag einer komplexen Zahl 0 ist muss die Zahl selbst 0 sein.
und schon hast du durch Denken und ohne haarsträubende Rechnung ein einfaches Ergebnis, die Menge besteht aus genau 2 Punkten.
Merke! immer ein en Moment denken , bevor man blindlings losrechnet.
Gruss ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> dein |z +4i | * | z-4 | <= 0
> 1. Schritt denken! ein Betrag ist [mm]immer\ge[/mm] 0
> also kann nur das = gelten.
> 2. wieder denken: ein Prpdukt ist 0 wenn einer der
> Faktoren 0 ist
> .3. damit der Betrag einer komplexen Zahl 0 ist muss die
> Zahl selbst 0 sein.
> und schon hast du durch Denken und ohne haarsträubende
> Rechnung ein einfaches Ergebnis, die Menge besteht aus
> genau 2 Punkten.
> Merke! immer ein en Moment denken , bevor man blindlings
> losrechnet.
steht ALLES auch direkt am Anfang meiner Antwort. Daher darf ich auch
sagen: Immer einen Moment lesen, bevor man schon Gesagtes nochmal
wiederholt.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeichne |z|, wobei z eine komplexe Zahl ist.
> Hallo,
>
> ich möchte ganz allgemein den Betrag von komplexen Zahlen
> zeichnen, also z.B. [mm] \{z \in \IC : | z | \}
[/mm]
Du meinst vielleicht [mm] $\{|z|:\;\; z \in \IC\}$?
[/mm]
Was Du nun genau zeichnen willst, weiß ich nicht, denn ein Graph einer
Funktion
[mm] $\IC \to [0,\infty) \subseteq \IR$
[/mm]
wird dreidimensional sein.
Wenn Du wissen willst, wie für festes [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] die (zweidimensionale) Menge
[mm] $\{z \in \IC:\;\; |z|=|z_0|\}$
[/mm]
aussieht:
Das ist ein Kreis mit Radius [mm] $|z_0|$ [/mm] um $0=0+i*0 [mm] \in \IC$.
[/mm]
Klarer wird das, wenn Du [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierst...
(P.S. Für [mm] $z_0=0$ [/mm] "zieht sich der Kreis auf den Nullpunkt von [mm] $\IC$ [/mm] zusammen".)
P.P.S. Der Graph der Funktion $f(z):=|z|$ ($z [mm] \in \IC$) [/mm] bzw. [mm] $g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] ($(x,y) [mm] \in \IR^2$)
[/mm]
kann hier
begutachtet werden. Kannst Du Dir vorstellen, was für $(x,y) [mm] \equiv [/mm] (x,0)$ ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
rauskommt?
Gruß,
Marcel
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> Kannst Du Dir vorstellen, was für $ (x,y) [mm] \equiv [/mm] (x,0) $ ($ x [mm] \in \IR [/mm] $)
> rauskommt?
Hi Marcel,
ich denke damit liegt der Graph direkt auf der x-Achse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Kannst Du Dir vorstellen, was für [mm](x,y) \equiv (x,0)[/mm] ([mm] x \in \IR [/mm])
> > rauskommt?
>
> Hi Marcel,
>
> ich denke damit liegt der Graph direkt auf der x-Achse.
diese Aussage macht irgendwie keinen Sinn. Worauf ich hinaus wollte:
Schneide halt das 3D-Bild von Wolfram-Alpha mit der xz-Ebene - Du siehst
dann nichts anderes als den Graphen von $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=|x|\,.$
[/mm]
Vielleicht kannst Du Dir auch vorstellen, wie das 3D-Bild aus dem Graphen
der letzten Funktion *entstanden sein könnte*: Man rotiere...
Gruß,
Marcel
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Hi,
wenn ich ehrlich bin, sagen mir diese 3D-Plots von Wolframalpha nicht allzu viel....:-/
Ich hatte Deine Frage/Anregung viel mehr so verstanden, was passiert wenn die y-Koordinate immer 0 ist und x beliebig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> wenn ich ehrlich bin, sagen mir diese 3D-Plots von
> Wolframalpha nicht allzu viel....:-/
>
> Ich hatte Deine Frage/Anregung viel mehr so verstanden, was
> passiert wenn die y-Koordinate immer 0 ist und x
> beliebig...
ja, das ist doch das gleiche:
Ich setze mal [mm] $h(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] und [mm] $f(r):=|r|\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $h(x,0)=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=|x|=f(x)\,.$
[/mm]
Bedenke nur bitte: Bei [mm] $h\,$ [/mm] ist "die y-Koordinate" noch Teil des Definitionsbereichs.
Vermutlich verwirrt Dich das ein wenig.
Du kannst auch [mm] $h(x_1,x_2)=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}$ [/mm] schreiben, wenn Du lieber immer "Funktionswerte"
mit y bezeichnen willst. Aber man sollte nicht zu sehr an *sowas* festhalten...
P.S. Strenggenommen sollte man auch
$h [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR$
[/mm]
mit [mm] $h(\,\red{\,(\,}x_1,x_2\red{\,)\,}\,):=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}$ [/mm] für [mm] $\red{\,(\,}x_1,x_2\red{\,)\,} \in \IR \times \IR$
[/mm]
schreiben. Oben habe ich quasi - ohne es zu sagen - eigentlich schon [mm] $h(x_1,x_2)$
[/mm]
so benutzt, als wenn klar wäre, dass [mm] $h(x_1,x_2):=h(\red{\,(\,}x_1,x_2\red{\,)\,})$ [/mm] definiert sein muss...
Viele Autoren machen das auch, ohne etwas dazu zu sagen!
Gruß,
Marcel
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