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| Aufgabe 1 |
a) Welche Kurve wird bei festem ρ∈R und b∈C ist durch die Gleichung z=z(t)=b+ρ⋅eit (t∈R)
beschrieben?
b) Gegeben ist weiter die Gerade h durch z(t)=z0+t⋅a (t∈R) Geben Sie aus rein geometrischen
Überlegungen eine Bedingung für den Winkel ϕ (vergl. z=z(t)=t⋅a (a=τ⋅eiϕ, t∈R)) an, dass diese Gerade Tangente
an den Kreis |z-b|=ρ ist. Beachten Sie dabei erforderliche Fallunterscheidungen und
verwenden als Bezeichnung β=arg(z0-b)!
c) Welche Bedingungen müssen also die auftretenden Konstanten a, b, ρ und z0 erfüllen, damit
Schnittpunkte zwischen beiden Kurven existieren?
d) Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Kreis aus b) und der Kurve aus a)?
e) Zahlenwerte für diese Aufgabe seien a=√3+i, b=1-2i und z0=2+i. Bestimmen Sie dann ρ derart,
dass g Tangente an den Kreis wird. |
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Gleichung |z-a|=e⋅|z-b| mit e∈R, a∈C und b∈C.
a) Welche Punktmengen M⊆C lösen diese Gleichung in den Fällen e<0, e=0 und e=1? (Nur
geometrisch-anschauliche Begründung !!!)
b) Begründen Sie durch Ausrechnung, dass diese Gleichung in den verbleibenden Fällen e>0,
aber e≠1, durch die Punkte eines Kreises erfüllt wird. Geben Sie Mittelpunkt und Radius
dieses Kreises an.
c) Legen Sie das Koordinatensystem so, dass a=-d, b=d (d∈R≥0) gilt. Wo liegen die
Schnittpunkte obigen Kreises mit der reellen Achse?
d) Geben Sie für die Ergebnisse von b) die Zahlenwerte an, falls eingangsseitig a=√3+i, b=1-2i
und e=5 vorgegeben ist. |
Hallo,
ab aufgabe 2 b) komme ich nicht weiter. hat jemand eine idee, welcher zusammenhang zwischen den benannten winkeln besteht und wie man dann weiterrechnet?
ab aufgabe 3b) komme ich auch nicht weiter. ich habe zwar ausdrücke wie z=x+iy, a=u+iv und b=g+hi eingesetzt, aber ich erhalte einen sehr langen ausdruck und kann nichts vereinfachen. ich denke, dass ich einen fehler gemacht habe.
hat jemand eine gute idee und kann mir lösungen bzw ansätze sagen? ich bin dafür sehr dankbar!
gruß microfather
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 04.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo micrfaser
Wir begrüßen uns hier i. A. und unsere postings haben auch ein "nettes" End!
Du hast deine Aufgaben falsch numeriert, und die Gerade aus 1c) kann ich nicht raten, auch nicht, welcher Winkel [mm] \Phi [/mm] ist!
Im Allgemeinen siet man die Beziehung einfach wenn man Kreis und Gerade zeichnet.
Bei 3b) must du erst quadrieren, danach mit [mm] |z|^2=z* \overline{z} [/mm] arbeiten, am Ende erst z* [mm] \overline{z} =x^2+y^2 [/mm] usw, dann muss man immer noch was rumrechnen, kriegt aber ne Kreisgleichung.
Wie hast du a) gelöst? daraus kennt man dann doch r und M schon im Prinzip!
Also schreib, was du gemacht hast auf, und präzisier die Aufgaben!
Und halt dich an unsere netten äußeren Formen!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
also die Aufgabe 3a) habe ich durch Überlegungen und kleinen Skizzen gelöst. Doch dort handelt es sich nur um Sonderfälle, da für e<0 kein Kreis entsteht, bei e=0 nur der Kreis um Punkt a mit der Radius 0 Lösung ist, also der Punkt selbst und bei e=1 ist die Lösung die Mittelsenkrechte zwischen a und b.
Gruß microfather
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 06.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du zu 2b) mal ne Zeichnung gemacht? um dir zu helfen fehlen immer noch Angaben aus 1)
zu 3b) warum rechnest du nicht einfach? ein Kreis muss die Form :
[mm][mm] (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 [/mm] haben. Auf die Form musst du das Quadrat deiner Betragsgleichung bringen. das ist reine Umformerei, wenn du nicht zu Ende kommst, schreib deine Rechnung auf, und sag, wo du Schwierigkeiten hast., du kannst ja auch zuerst c) rechnen da hast du 2 Größen weniger.
Gruss leduart
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hallo,
die gegebenen werte von 1 hatte ich in die ursprungsaufgaben ergänzt, so dass jetzt gar keine verweise mehr dort stehen sondern nur die aufgaben selbst.
gruß microfather
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| Aufgabe | | es bezieht sich alles auf obig gestellte fragen |
Hallo,
Weil der Formeleditor nicht in meiner Liste bei Objekten stand, werde ich die konjugiert Komplexe Zahl statt einem Strich drüber mit einem Unterstrich versehen müssen. Ich hoffe, es bleibt trotzdem verständlich.
Hier einmal meine Rechnung zu 3 b)
lz-al = e lz-bl
(z − a)(z − a) = e² (z − b)(z − b)
(z − a)(z − a) = e² (z − b)(z − b)
z ∙ z z ∙ a a ∙ z + a ∙ a = e² (z ∙ z z ∙ b b ∙ z + b ∙ b)
z ∙ z e² z ∙ z - z ∙ a + e² z ∙ b a ∙ z + e² b ∙ z +a ∙ a - e² b ∙ b = 0
z ∙ z (1 e²) - z ∙ (a - e² ∙ b ) z( a - e² b ) + a ∙ a - e² b ∙ b = 0 /(1-e²)
z ∙ z (1 e²) - z ∙ (a - e² ∙ b ) /(1 e²) z( a - e² b )/ (1 e²) + a ∙ a /(1 e²) - e² b ∙ b/(1 e²) = 0
Quadratische Ergänzung:
[z - ( a - e² b )/ (1 e²)] [z - (a - e² ∙ b ) /(1 e²)] =
- a ∙ a /(1 e²) + e² b ∙ b/(1 e²) -( a - e² b )/ (1 e²)(a - e² ∙ b ) /(1 e²)
l z- (a - e² b )/ (1 e²)l² = (lbl²e²) / (1-e²) lal² / (1-e²) - l( a - e² b ) / (1 e²)l²
Dann kann man ja noch die Wurzel ziehen und erhält am Ende für den Mittelpunkt und den Radius:
Mittelpunkt: (a - e² b )/ (1 e²)
Radius: √[ ( lbl²e² lal² ) / (1-e²) - l( a - e² b ) / (1 e²)l² ]
Das Problem ist, dass ich in der Aufgabe d) Probleme bekomme, da ich für den Mittelpunkt durch Einsetzten von a=√3 + i; b= 1 2i und e=5 zwar den Mittelpunkt = (25-√3)/24 51/24i
bekomme, aber wenn ich dann alles beim Radius einsetzte bekomme ich:
√ [ (5 ∙ 5² - 2 ²) / (1-5²) [((25-√3)/24)² + (51/24)²] ]
wenn ich den Therm, der unter der Wurzel steht ausrechne, bekomme ich:
√(-10,495525).
Doch der Radius müsste eigentlich positiv sein. Muss ich irgendwo noch Betragsstriche setzten?
Wenn ja, wo?
Zur c)
Erst wollte ich hier für a und b einfach d bzw d einsetzten.
Probleme hatte ich nur, als ich in der Aufgabenstellung gesehen habe, dass d aus der Menge der Reellen Zahlen ist. Wie geht das denn jetzt? Da kann ich es ja gar nicht in meine Gleichung für Komplexe Zahlen einsetzten, oder?
Aber dann geht doch mein ganzes Konzept mit komplexen Zahlen nicht, oder? Auf jeden Fall, wusste ich nicht genau, wie ich's verstehen soll. Weil sonst, wenn d wirklich eine reelle Zahl ist, dann liegt sie ja eh auf der X-Achse, da sie keinen Anteil in iy-Richtung hat.
Sind dann d und -d auch gleich die Schnittstellen oder verschiebt sich da was? Wie rechne ich das aus?Wie muss ich damit umgehen? Gibt es da jetzt eine graphische Lösung?
Zur Aufgabe 2)
Hier noch mal ergänzende Überlegungen zu b)
Also ich habe mir überlegt, dass es, da es 2 Tangenten gibt, 4 Richtungsvektoren gibt. Daher gibt es 4 Winkel:
Φ = β + α
Φ = β - α
Φ = β + α + 180°
Φ = β α + 180°
Ich meine damit, dass man eimal um π dreht und dann den zugehörigen 2. Winkel für die gleiche Gerade bekommt.
Wenn jetzt Φ > 2 π : Subtraktion von 2 π (Denn man dreht ja dann nur im Kreis)
Wenn Φ < 0 : 2 π Φ
c)
Wann gibt es Schnittpunkte von der Geraden mit dem Kreis?
z0 b = ρ: 1 Schnittpunkt, wenn a ┴ ρ
2 Schnittpunkte wenn a nicht ┴ ρ
z0 b < ρ: immer 2 Schnittpunkte
ab hier bin ich mir gar nicht mehr sicher
z0 b > ρ: 1 Schnittpunkt, wenn
α = arcsin ρ / lz0 bl existiert und a ┴ ρ
2 Schnittpunkte, wenn der Winkel α kleiner wird, d. h sich 0 annähert
keine Schnittpunkte, wenn der Winkel α größer wird, aber nicht so groß wie
180 α
e)
geg:
a = √3 + i = 2 e ^30°i
b = 1- 2i
z0 = 2+ i
z0 b = 1 + 3i = √10 e^71,565°i
α = ß Φ = 41, 565° Sin α = ρ / lz0 bl → sin 41,565°= ρ / √10 →
ρ = √10 + sin41.565° = 2.098
liebe grüße
microfather
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Fr 06.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da in deiner Darstellung nicht zwischen [mm] \overlinez [/mm] und z zu unterscheiden ist kann ich nur ahnen, dass du etwa richtig gerechnet hast. Der Mittelpunkt ist jedenfalls richtig. für den Radius im Quadrat bekomme ich
[mm] r^2=e^2*(|a|^2+|b|^2)/(1-e^2)+(|a-e^2*b|)^2/(1-e^2)^2[/mm] mir scheint, das ist nur im Vorzeichen des letzten Terms verschieden. da hast du scheins bei der qu. Ergänzung dich versehen.
damit ist dann d richtig mit pos. Radius zu lösen. die reellen Zahlen gehören zu den komplexen als Unterkörper und du kannst damit es komplex aussieht ja d=d+0*i schreiben. das ist mit [mm] d\in\IR [/mm] gemeint. damit ist das auch erledigt und leicht.
Die 2 guck ich vielleicht später noch mal an.
übrigens unter deinem Eingabefenster stehen die Eingabehilfen, mit denen du ohne Editor gute formeln schreiben kannst. oder mit laTEX und $ vor und nach .
Sieh dir einfach mal nen Quelltext an, der Formeln enthält, oder geh auf "zitieren" dann kriegst du auch den Quelltext. Im schlimmsten Fall schreibt man zq statt [mm] \overlinez.
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo,
vielen Dank für den Hinweis - ich habe beim Rüberbringen des Ausdrucks auf die andere Seite das Vorzeichen nicht geändert. Nur im Ersten ausdruch bleibt bei mir ein Minus, wo du ein Plus hast. Außerdem steht bei mir das e² nur vor dem b. Die Formel sieht also bei mir so aus:
$ [mm] r^2=(e^2|b|^2-|a|^2)/(1-e^2)+|(a-e^2\cdot{}b)/(1-e^2)|^2 [/mm] $
Ist das mein Fehler oder hast du dich vielleicht vertan?
Gruß microfather
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 09.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, ich hatte mich verschrieben, dein Ergebnis ist r.
Gruss leduart
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Hallo,
Ich habe jetzt mit Aufgabe 3d angefangen und d bzw -d eingesetzt. Hier meine Rechnung:
[mm] \left| z+d \right| [/mm] = e [mm] \left| z-d \right|
[/mm]
(z+d)(zq+d) = [mm] e^2 [/mm] (z-d)(zq-d)
[mm] z*zq(1-e^2) [/mm] + [mm] z*d(1+e^2)+zq*d(1+e^2)=0
[/mm]
z*zq + [mm] z*d(1+e^2)/(1-e^2) [/mm] + [mm] zq*d(1+e^2)/(1-e^2)=0
[/mm]
[mm] \left| z+d(1+e^2)/(1-e^2) \right| [/mm] = d [mm] (1+e^2)/(1-e^2)
[/mm]
Jetzt habe ich wieder meinen Kreis und frage mich, wie ich die Schnittpunkte mit der x-Achste bekommen kann.
es müssten ja 2 sein, es sei denn, die reelle Achse ist Tangente. Nun kann ich die Gleichung ja nicht einfach gleich 0 setzten, wie ich es sonst machen würde, da dort ja der Radius steht und nicht die y-Komponente.
Welchen Trick gibt es dort und ist die Rechnung überhaupt richtig?
Gruß Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 09.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest direkt sehen, dass z=0 und z=-2r Löungen der Gliechung mit reellem z sind.
Allgemein wäre einfach in Realteil und Imaginärteil auflosen und Img(z)=0 setzen.
Deine Ergebnisse sind richtig
Gruss leduaart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 07.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo, ich bins noch mal.
Ich weiss nicht, welchen Winkel du [mm] \alpha [/mm] nennst. [mm] \Phi [/mm] ist der Winkel zwischen reeller Achse und der Geraden, [mm] \beta [/mm] der Winkel der Verbindungslinie des Kreismittelpkts und z0 zur r.A. der Winkel zw. diesen 2 Geraden sei [mm] \alpha.
[/mm]
Dann gilt für [mm] |zo-b|>\rho, [/mm] also z0 ausserhalb des Kreises, dass [mm] sin\alpha=\rho/|z0-b|.
[/mm]
und die 2 möglichen [mm] \Phi [/mm] sind [mm] \beta-\alpha [/mm] und [mm] \beta+\alpha.
[/mm]
[mm] |zo-b|=\rho [/mm] Gerade senkrecht auf z0-b, 1 Tangente
[mm] |zo-b|<\rho [/mm] keine Tangente möglich.
an ner Zeichnung leicht abzulesen.
Gruss leduart
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Hallo,
Ich wollte eine neue Frage stellen und hatte mich versehen - sorry also für das als Fehlerhaft kennzeichnen!
Gruß
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Der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist genau der, den du beschrieben hast.
Ich habe meine Antwort zu 2 c) jedoch darauf bezogen, wann es 1 oder 2 Schnittpunkte gibt, denn ich dachte, dass ein Schnittpunkt ja nicht unbedingt eine Tangente sein muss.
Wenn also
$ [mm] |zo-b|<\rho [/mm] $ gibt es 2 Schnittpunkte, da die Gerade dann durch den Kreis geht.
Bei $ [mm] |zo-b|>\rho, [/mm] $ also z0 ausserhalb des Kreises, dass $ [mm] sin\alpha=\rho/|z0-b|. [/mm] $
und gibt es da nicht 4 mögliche $ [mm] \Phi [/mm] $ nämlich $ [mm] \beta-\alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta+\alpha. [/mm] $
und noch die $ [mm] \Phi [/mm] $ nämlich $ [mm] \beta-\alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta+\alpha. [/mm] $ +/- [mm] \pi [/mm] , da der Richtungsvektor auch in die entgegengesetzte Richtung zeigen kann?
Meine weitere Überlegung war in dem Fall, dass wenn der Winkel [mm] \alpha [/mm] nun kleiner wird, sich also der Gerade zwischen dem Mittelpunkt und z0 annähert, gibt es 2 Schnittpunkte.
Liebe Gruß
Microfather
PS: Du hast mir schon sehr geholfen und gute Anregungen gegeben, vielen Dank dafür, Leduart!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 09.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Der Winkel [mm]\alpha[/mm] ist genau der, den du beschrieben hast.
>
> Ich habe meine Antwort zu 2 c) jedoch darauf bezogen, wann
> es 1 oder 2 Schnittpunkte gibt, denn ich dachte, dass ein
> Schnittpunkt ja nicht unbedingt eine Tangente sein muss.
richtig, ich hatte nur den Teil der Aufgabe mit der Tangente gesehen.
> Wenn also
> [mm]|zo-b|<\rho[/mm] gibt es 2 Schnittpunkte, da die Gerade dann
> durch den Kreis geht.
richtig
> Bei [mm]|zo-b|>\rho,[/mm] also z0 ausserhalb des Kreises, dass
> [mm]sin\alpha=\rho/|z0-b|.[/mm]
> und gibt es da nicht 4 mögliche [mm]\Phi[/mm] nämlich [mm]\beta-\alpha[/mm]
> und [mm]\beta+\alpha.[/mm]
> und noch die [mm]\Phi[/mm] nämlich [mm]\beta-\alpha[/mm] und [mm]\beta+\alpha.[/mm]
Das ist natürlich richtig, aber dann schon ganz allgemein [mm] \pmn*\pi!
[/mm]
> +/- [mm]\pi[/mm] , da der Richtungsvektor auch in die
> entgegengesetzte Richtung zeigen kann?
>
> Meine weitere Überlegung war in dem Fall, dass wenn der
> Winkel [mm]\alpha[/mm] nun kleiner wird, sich also der Gerade
> zwischen dem Mittelpunkt und z0 annähert, gibt es 2
> Schnittpunkte.
richtig
Und alle restlichen Fälle 0 Schnittpunkte,
Gruss leduart
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